Menu
I Giochi del Lunedì di Prisma del 19 giugno 2023 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi presentiamo un gioco, sulle strategie di comunicazione e l’uso della matematica, suggerito dal vincitore del Premio Gödel 2005. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio relativo ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo la nostra soluzione.
Numeri sulla fronte
Dieci studenti devono sostenere l’esame di Calcolo delle Probabilità. A ciascuno di loro verrà scritta sulla fronte una cifra compresa tra 0 e 9 (potrebbero essere tutti 2 oppure 3 o anche tutti diversi). Ogni studente potrà vedere la cifra degli altri ma non la propria. In separata sede gli verrà chiesto di indovinare la cifra che ha sulla fronte. Tutti gli studenti saranno promossi, a condizione che almeno uno di loro indovini. Gli studenti hanno l’unica opportunità di comunicare tra loro solo prima dell’inizio dell’esame. Come possono massimizzare le loro probabilità di successo?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
Il gioco di oggi è stato proposto da Noga Alon, matematico e informatico teorico dell’Università di Princeton, insignito del Premio Gödel nel 2005.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
Tutti i diritti di proprietà artistica e letteraria sono riservati.
L’editore è a disposizione di eventuali detentori di diritti che non sia stato possibile rintracciare.
Mateinitaly srl – p.iva 09164520968 – Corso Vercelli 27 – 20144 Milano (MI).
7 risposte
Buonasera. Assegniamo ad ognuno dei 10 studenti un indice da 0 a 9.
Indichiamo con:
i: l’indice assegnato ad ogni sudente (da 0 a 9)
ai: il numero che lo studente i-esimo ha sulla fronte
ki: il numero che lo studente i fornirà come risposta
TOT: la somma di tutti gli ai
TOTP: la somma dei numeri sulle fronti che ogni studente vede (es.: per lo studente k, TOTP = TOT – ak)
Avremo che TOT = p (mod 10), dove p è un numero da 0 a 9.
Lo studente cui sarà stato assegnato l’indice p indovinerà il proprio numero sulla fronte fornendo come risposta il numero a tale che:
TOTP+ki = i (mod 10)
Infatti, poiché TOT = p (mod 10) e TOTP + ki = i (mod 10), per lo studente p-esimo avremo che i=p -> TOT – TOTP = ki e ki = ai
Per cui lo studente p indovinerà il proprio numero.
Perfetto. Nel pomeriggio la soluzione.
Se stabiliscono di dire ognuno una cifra diversa almeno sono sicuri di farcela nel caso che si tutte le fronti appaia la stessa cifra.
Mi sembra abbastanza complicato fare dei calcoli precisi. Butto lì un’idea che dovrebbe aumentare la probabilità di riuscita rispetto al semplice “sparare a caso”. Se gli studenti sparano a caso la probabilità che almeno uno indovini si calcola facilmente ed è 1-(9/10)^10 = ~0,65132.
L’idea è questa. Se i numeri sulla fronte vengono attribuiti a caso, succederà spesso che qualcuno tra questi numeri sarà ripetuto. L’idea è di sfruttare questa circostanza facendo sì che gli studenti che hanno lo stesso numero in fronte facciano tra loro un tentativo diverso per massimizzare le possibilità che almeno uno indovini e questo si può ottenere in questo modo: anticipatamente si accordano per attribuire a ogni studente un numero diverso tra 0 e 9, poi ogni studente somma i numeri che vede (coloro che vedono la stessa somma hanno lo stesso numero in fronte) e quindi aggiunge a tale numero il valore precedentemente attribuito. Poi si fa modulo 10 e questa è la risposta dello studente. Nel caso limite in cui i numeri attribuiti fossero tutti uguali avremmo la certezza che uno degli studenti indovinerà.
Ho fatto una simulazione che arriva a una probabilità di circa 0.673.
Forse si può fare di meglio ma io per ora mi fermo qui. 🙂
Prima dell’esame, possono concordare di assegnare a ciascuno studente un numero da 0 a 9. Quindi, ogni studente può calcolare la somma dei numeri che vede sulla fronte degli altri studenti e prendere il resto quando diviso per 10 (mod 10). Ogni studente indovinerà quindi il numero assegnato a lui che corrisponde a questo resto. Cosi’, almeno uno studente è garantito di indovinare il proprio numero correttamente, garantendo che tutti gli studenti superino l’esame.
1. Possono comunicare tra loro, estremizzando anche per telefono, quindi non è necessario che si incontrino.
2. Al momento di questa comunicazione non hanno i numeri scritti sulla fronte.
Ho un paio di domande:
1 – Per opportunità di comunicare si intende che si incontreranno?
2 – Al momento di questa comunicazione avranno già i numeri scritti sulla fronte?
Grazie in anticipo per una cortese risposta