90. Soluzioni del 24 aprile 2023 – Teoria dei Giochi e della Comunicazione

Soluzioni del 24 aprile 2023 a cura di Fabio Ciuffoli 

Ieri abbiamo presentato due problemi sulla Teoria dei Giochi sulla Teoria dell’Informazione e di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione. 

Teoria dei Giochi e della Comunicazione – soluzioni 

1. Gioco televisivo. Sei tu contro un altro concorrente in un gioco televisivo con un alto montepremi finale. Su un tavolo vengono poste sei carte coperte numerate da 1 al 6. Ognuno sceglie una carta senza farla vedere e la carta più alta vince. Peschi la tua carta, è un 2, non benissimo. L’altro pesca la sua, la guarda e dice: “vuoi scambiare la tua carta con la mia prima di rivelarle?” Scambieresti la carta?

1. SOLUZIONE. Come abbiamo scritto, è un problema di Teoria dei Giochi nel quale occorre ragionare sul fatto che se l’altro giocatore propone uno scambio è perché ha un vantaggio, almeno in termini di probabilità di vittoria. Ora io sono A e cerco di capire quando B ha un vantaggio nel proporre uno scambio. 

Se B avesse pescato 6, non avrebbe nessun motivo di proporre uno scambio perché vincerebbe sicuramente.

Se B avesse pescato 5, penserebbe: “Fare la proposta per me è solo svantaggioso perché se A avesse 6 non accetterebbe. Se A avesse un qualunque altro numero ci sarebbe una possibilità che accettasse e quindi perderei”, quindi a B non conviene fare la proposta di cambio.

Se B avesse pescato 4, penserebbe: “Fare la proposta per me sarebbe vantaggioso se A avesse 6 o 5. Ma se A avesse 6 non accetterebbe. Se A avesse 5, dedurrebbe che io non ho 6, quindi saprebbe che ho 4 o un numero inferiore e quindi non accetterebbe”. Quindi proporre lo scambio quando B ha pescato 4 è svantaggioso per B perché A accetterebbe solo se avesse 3, 2 o 1 e perciò B otterrebbe una carta minore di 4. 

Se B avesse pescato 3, penserebbe: “Fare la proposta per me sarebbe vantaggioso se A avesse 6, 5 o 4.  Ma se A avesse 6 non accetterebbe. Se A avesse 5, saprebbe che io non ho 6, quindi saprebbe che ho 4 o un numero inferiore e quindi non accetterebbe. Se A avesse 4, quindi il 4 non può averlo B, A dedurrebbe che B avrebbe 3 o meno di 3 e perciò A non accetterebbe il cambio, come nel ragionamento posto sopra”. Anche in questo caso B non ha convenienza proporre il cambio perché A accetterebbe solo se avesse 2 o 1.

Se B avesse pescato 1, avrebbe convenienza a proporre il cambio, così come descritto nel testo del problema, ma A non avrebbe convenienza a accettare. 

Di conseguenza lo scambio è vantaggioso per B solo se avesse pescato 1, ma a questo punto A non accetterebbe e resterebbe con il suo 2 vincendo. In sintesi, se il giocatore B propone lo scambio, al giocatore A non conviene cambiare!

Molte persone, di fronte a questo problema, si fanno trasportare da un bias (distorsione cognitiva) per cui si immedesimano solo nella parte del giocatore A senza chiedersi in quali circostanze, all’altro giocatore conviene proporre uno scambio. Infatti il giocatore A, con un 2 su carte che vanno da 1 a 6, è indotto a cambiare perché la probabilità di migliorare la sua situazione sembra favorevole, ma bisogna chiedersi perché B fa una proposta di questo tipo? 

Siamo di fronte a un classico della Teoria dei Giochi a somma nulla con due decisori in conflitto nel quale il guadagno di un concorrente corrisponde alle perdite o al mancato guadagno dell’altro concorrente.  

2. Informazioni riservate. Tre amici di vecchia data stanno organizzando un viaggio negli Stati Uniti d’America. Sono tutti e tre insieme e stanno per prenotare e l’Agenzia Viaggi Virtuale, oltre alle informazioni anagrafiche, chiede la media dei redditi mensili di tutti i componenti del gruppo per eventuali agevolazioni assicurative e fiscali. Un po’ per riservatezza e un po’ per imbarazzo o altro, nessuno vuole comunicare il proprio reddito mensile medio agli altri amici. Come fanno i tre ad indicare il reddito mensile medio del gruppo, senza che vengano rivelati i vari importi tra di loro, senza interpellare altre persone, senza mentire sul risultato, senza utilizzare strumenti di calcolo o informatici e nemmeno carta e penna?

2. SOLUZIONE.  Il primo pensa una qualunque cifra e la sussurra al secondo, senza farsi sentire dal terzo amico. Il secondo aggiunge a quella cifra il suo reddito e sussurra il totale al terzo che, a sua volta, somma il suo reddito e sussurra il totale al primo amico. Ora il primo amico aggiunge il suo reddito e sottrae la cifra iniziale e infine divide per tre. A questo punto nessuno può conoscere il reddito degli altri due, ma hanno il totale e possono calcolare la media. Questo metodo può funzionare con n partecipanti.




 

Esempio. Supponiamo che i tre amici abbiano un reddito medio mensile rispettivamente di 2.800 euro; 8.500 euro e 3.100 il primo sussurra al secondo una cifra casuale, ipotizziamo 60.000, poi il secondo sussurra al terzo 68.500, poi il terzo sussurra al primo 71.600. A questo punto il primo aggiunge il suo reddito ottenendo 74.400, poi sottrae 60.000 ottenendo 14.400 e infine divide per 3 ottenendo il reddito medio di 4.800 euro.   

La nostra proposta di soluzione tiene conto delle restrizioni fissate dal testo, senza usare nemmeno carta e penna.  Ovviamente se avessimo a disposizione calcolatrici con memoria, computer e software vari, i metodi per risolvere il problema sarebbero tanti e fantasiosi.  

A lunedì prossimo.