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I Giochi del Lunedì di Prisma del 27 marzo 2023 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi presentiamo tre problemi di calcolo delle probabilità applicato al gioco delle carte. Nel primo gioco abbiamo inserito un suggerimento e poi una più decisa spinta per arrivare gradualmente alla soluzione. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione nello spazio riservato ai comenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni con le dimostrazioni.
Estrarre un Jack
1. Estrarre un Jack. In alcuni giochi di poker, il primo mazziere viene determinato distribuendo singole carte scoperte, da un mazzo ben mescolato, finché un giocatore non ottiene un Jack. In media, quante carte vengono distribuite durante questa procedura?
SUGGERIMENTO: cosa succede se c’è un solo Jack in un mazzo di n carte? Calcola la risposta per n = 2, 3, 4, ecc. e cerca una spiegazione per il modello.
SPINTA: Cosa succede se ci sono solo due Jack in un mazzo di n carte? Calcola la risposta per n = 3, 4, 5, ecc. e cerca una spiegazione per il modello.
2. Vedere l’ultima carta. Ti viene proposto di scommettere sul colore della prima carta di un mazzo di 52 carte, di cui 26 rosse e 26 nere, ben mescolate. Se indovini il colore vinci 100 euro altrimenti perdi lo stesso importo. Quanto vale, per te in euro, la possibilità di vedere l’ultima carta del mazzo? E quanto vale la possibilità di vedere le ultime due carte?
3. Prossima carta rossa. Da un mazzo di 52 carte ben mescolato, con 26 rosse e 26 nere, vengono scoperte una alla volta le carte. In qualsiasi momento, puoi interrompere e scommettere 1 euro che la prossima carta sarà rossa. Puoi scommettere una sola volta e se non interrompi mai, si presume che tu abbia scommesso sull’ultima carta. Qual è la tua migliore strategia?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
I giochi sono stati proposti da Peter Winkler, professore di Matematica e Informatica al Darthmouth College New Hampshire USA, per conto del MoMaths di New York. I giochi vengono inviati la domenica via email, i suggerimenti vengono inviati il martedì, la spinta viene inviata il giovedì e infine la soluzione viene inviata il sabato.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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7 risposte
N. 2. 100*26/51-100*25/51= ~2
Da un mazzo di 52 la possibilità di vedere l’ultima carta dovrebbe essere 52*51!/51!
E x vedere le ultime 2 carte 52*51*50!/2!50!…se ho capito ..!!
Problema 3.
Una strategia potrebbe essere interrompere non appena il conteggio della nere scoperte supera quello delle rosse scoperte.
Ma non sai se questa cosa succederà
Ciao. Ho dato per scontato che se non succede scommetto sull’ultima carta, come è previsto dal testo del problema.
Problema 2.
Scoprendo l’ultima carta scommetterò sulla prima carta dell’altro colore. Quindi vincerò 100 con probabilità 26/51 e perderò 100 con probabilità 25/51, quindi mediamente ogni giocata frutterà:
100 * 26/51 – 100 * 25/51 = ~1,96 che è il valore in euro di questa possibilità
Scoprendo due carte queste saranno 1/2 dello stesso colore e 1/2 di colore diverso, quindi:
1/2 * (100 * 25/50 – 100 * 25/50) + 1/2 * (100 * 26/50 – 100 * 24/50) = 2
Sulla seconda risposta ci sarà qualcosa di sorprendente, così almeno è stato per me. A domani per le nostre proposte di soluzione.
Problema 1.
p(1): probabilità che esca il primo jack alla prima carta = 4/52.
p(2): probabilità che esca il primo jack alla seconda carta = 48/52 * 4/51
p(3): probabilità che esca il primo jack alla terza carta = 48/52 * 47/51 * 4/50
p(4): probabilità che esca il primo jack alla quarta carta = 48/52 * 47/51 * 46/50 * 4/49
ecc.
Il numero di carte che mediamente dovranno essere scoperte per trovare il primo jack è:
Somma(p(i)*i) per i da 1 a 52
che con Excel risulta 10.6