69. Le soluzioni del 14 novembre 2022 – La geometria a colori di Catriona

Le soluzioni del 14 novembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato quattro problemi di geometria proposti  da Catriona Shearer, insegnante e appassionata divulgatrice di matematica e di seguito pubblichiamo le soluzioni . 

La geometria a colori di Catriona – soluzioni 

1. I quattro triangoli colorati sono equilateri. Quale rapporto c’è tra l’area dei triangoli colorati e l’area del rettangolo?1. SOLUZIONE. Un triangolo equilatero ha tre angoli di 60 gradi, perciò i quattro triangoli bianchi hanno l’angolo, al centro della croce, di 30 gradi, così da comporre l’angolo giro di 360 gradi, come mostrato nella figura seguente. Consideriamo il triangolo bianco in alto a sinistra, che ha l’angolo in alto a sinistra di 30 gradi, perché dall’angolo retto vanno sottratti 60 gradi. Questo triangolo è isoscele, perciò il lato a è uguale al lato del triangolo equilatero rosso e quindi il lato superiore del rettangolo è 3a. Allo stesso modo, considerando il triangolo bianco in basso a sinistra, determiniamo l’altezza del rettangolo che è 2b.Ipotizziamo che l’area del triangolo equilatero rosso, di lato a, sia 1, allora anche i due triangoli isosceli adiacenti saranno di area 1, poiché hanno la stessa base e la stessa altezza, come mostrato nella figura seguente. Ora consideriamo il triangolo in alto in grassetto, composto dai tre triangoli, che ha area 3. Il triangolo equilatero giallo, a destra in grassetto, ha anch’esso area 3, poiché ha la base uguale e l’altezza uguale al triangolo composto da tre triangoli.

L’area del triangolo equilatero giallo a destra è la stessa del triangolo isoscele bianco in basso a destra, entrambi in grassetto nella figura seguente. Anche in questo caso hanno la base, b, uguale e l’altezza uguale. Il triangolo equilatero verde in basso ha il lato triplo rispetto al triangolo equilatero rosso in alto e poiché se il lato di un triangolo equilatero triplica, l’area aumenta di 9 volte, quindi ha area 9.Ora sommiamo le aree dei triangoli equilateri:  1 + 3 + 9 + 3 = 16. L’area del rettangolo è 1 + 1 + 1 + 3 + 3 + 9 + 3 + 3 = 24. Infine 16/24 semplificato 2/3, l’area dei triangoli colorati è 2/3 dell’area del rettangolo.

2. I tre rettangoli sovrapposti sono congruenti, ciascuno di area 4. I punti neri segnano i punti medi dei lati corti. Qual è l’area totale del disegno?

2. Soluzione. L’area in cui due rettangoli si sovrappongono può essere sezionata in due triangoli rettangoli uguali, ciascuno di area 1/8 del rettangolo, come mostrato in figura. L’area di ogni sovrapposizione è quindi 2 * (1/8) * 4 = 1. Infine l’area totale del disegno è 12 – 3 = 9.

3. SOLUZIONE. Con il teorema di Pitagora calcoliamo la distanza tra il centro di una circonferenza e il vertice del quadrato grande, come mostrato in figura, AB = √ 4² + 4² = √ 32. 

La diagonale del quadrato grande è 8 + 2√ 32, che diviene 8 + 8√2. Ora possiamo calcolare il lato del quadrato grande, dividendo la diagonale per √2, quindi (8 + 8√2) / √2 = 8/√2 + 8. A questo punto calcoliamo il lato del quadrato piccolo: 8/√2 + 8 – 8 = 8/√2. Ora elevando al quadrato troviamo l’area del quadrato piccolo (8/√2)² = 32.

4. Quattro triangoli equilateri sono stati disegnati sui lati di un quadrato di area 12. Quanto misura l’area ombreggiata color celeste?

4. SOLUZIONE. Ricordiamo alcune formule per calcolare: Altezza del triangolo equilatero h = (√3/2) l; Area del quadrato nota la diagonale: d²/2.

• Lato del quadrato: l = √12 = 2√3 che è anche la misura del lato dei triangoli equilateri.
• Altezza triangolo equilatero: h = (√3/2) (2√3) = 3
• Diagonale del quadrato grande: 3 + 3 + 2√3
• Area del quadrato grande: (6 + 2√3)² / 2 = (36 + 12 + 24√3) /2 = 24 + 12√3
• Area dei quattro triangoli equilateri: 4 (2√3*3) /2 = 12√3    
• Area ombreggiata: 24 + 12√3 – 12 – 12√3 = 12.

Di seguito i disegni proposti da Catriona per la soluzione.

A lunedì prossimo.