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I Giochi del Lunedì di Prisma del 12 settembre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli
I giochi che proponiamo oggi riguardano le strategie di scelta e l’ottimizzazione dei risultati. Prendono spunto da un problema matematico, descritto da Martin Gardner e noto con il nome “problema del matrimonio”. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione nello spazio riservato ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le soluzioni.
Strategie e ottimizzazione
1. Si prendono tre foglietti di carta e su ogni foglietto viene scritto un numero positivo diverso. I numeri possono variare da piccole frazioni di 1 alle dimensioni di un googol (1 seguito da cento zeri) o anche maggiore. I foglietti vengono posti a faccia in giù su un tavolo e mescolati. Il gioco ti chiede di individuare il foglio con il numero più alto, con le seguenti regole. Puoi scoprire un foglio e puoi fermarti oppure puoi scoprire un secondo foglio, ma perderai l’opportunità offerta dal primo foglio. Dopo aver scoperto il secondo foglio puoi fermarti oppure scoprire il terzo foglio, restando così con il valore del terzo foglio. Qual è la strategia che migliora le probabilità di trovare il numero più alto?
2. Una borsa contiene un sassolino bianco e molti sassolini neri. Tu e un amico, a turno, scegliete casualmente i ciottoli dal sacchetto, uno alla volta, senza reimmetterli. Vince chi estrae il sassolino bianco. Per massimizzare le tue possibilità di vincere, è preferibile iniziare il gioco per primo o per secondo?
Alcune considerazioni. Il vantaggio di iniziare per primo è che hai la possibilità di vincere prima che lo faccia il tuo amico. Lo svantaggio è che, se non ottieni il sassolino bianco al primo tentativo, stai offrendo al tuo amico l’opportunità di vincere e con un sassolino nero in meno nella borsa…
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
I problemi sono rielaborazioni da “Il problema della segretaria” che è stato descritto da Martin Gardner nella sua rubrica Giochi Matematici del febbraio 1960 su Scientific American.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
blog.giochi@prismamagazine.it
Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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5 risposte
2) Dipende se il numero totale di sassolini è pari o dispari. Se è pari, è indifferente partire per primo o per secondo, la probabilità di estrarre il sassolino bianco è la stessa (1/2). Se è dispari, conviene partire per primo (n+1)/2n
Ottimo è così.
Se mi fermassi al primo foglio avrei 1/3 di possibilità di individuare il numero maggiore.
Invece dopo il primo foglio scopro il secondo foglio: se ho un miglioramento mi fermo
se ho un peggioramento scopro il terzo foglio
In questo modo ho il 50% di possibilità di individuare il numero più grande
Vediamo i casi
123 stop al 2 ma non è il maggiore
132 stop al 3 ed è ok
213 stop al 3 ed è ok
231 stop al 3 ed è ok
312 stop al 2 ma non è il maggiore
321 stop all’1 ed è il minore
Problema 1. Non è data alcuna indicazione su come vengono scelti i 3 numeri da scrivere, pertanto le informazioni aggiuntive che si ottengono nello scoprire un foglio sono poche, ma vanno considerate.
Ad esempio se al primo tentativo si scopre un “1” è chiaro che sarebbe conveniente scegliere uno dei due rimanenti, ma questo è assai improbabile se ammettiamo tutti i numeri interi.
Direi quasi che si possa trattare ognuno dei fogli come se fossero coperti, però azzardo una strategia senza fare calcoli.
Scopro il primo.
Scopro il secondo, se è più alto del primo lo tengo, altrimenti prendo il terzo.
Secondo me è bene sempre scoprire due foglietti così si ha la probabilità 1/2 di scoprire il numero più alto, altrimenti è 1/3.