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Le soluzione del 24 gennaio 2022 a cura di fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo proposto quattro problemi prendendo spunto dai racconti sulle origini del calcolo delle probabilità, ora presentiamo le soluzioni e le relative considerazioni.
Alle origini del calcolo delle probabilità – soluzioni
1. Due scommettitori, Aldo e Bernardo, giocano a Testa o Croce puntando 100 euro ciascuno. Aldo sceglie Testa e Bernardo sceglie Croce e vincerà chi, per primo, otterrà due punti. Per una qualsiasi ragione, del tutto irrilevante ai fini matematici, il gioco viene interrotto sul punteggio di 1 a 0 per Aldo. In questo caso come va suddivisa la posta? Aldo sostiene che la posta spetta a lui perché stava vincendo, mentre Bernardo si oppone dicendo che il gioco non è stato finito e perciò ognuno si riprende la propria puntata. Chi dei due ha ragione?
1. SOLUZIONE. In termini probabilistici la posta va per € 150 a Aldo e per € 50 a Bernardo. Non contano solo i risultati ottenuti fino a quel momento, ma anche quelli che sarebbero stati ottenuti di seguito. Se i due avessero continuato a giocare, nel turno successivo sarebbe potuto uscire testa (50%) ed avrebbe vinto Aldo; in caso contrario (50%) il risultato parziale sarebbe stato di 1 a 1. In quest’ultimo caso si sarebbe giocato un terzo turno nel quale se fosse uscita testa (50%) avrebbe vinto Aldo e se fosse uscita croce (50%) avrebbe vinto Bernardo. Il gioco quindi si sarebbe concluso entro un massimo di altre due partite virtuali, che avrebbero comportato i quattro esiti possibili:
Nei primi tre casi avrebbe vinto Aldo, mentre nel quarto caso avrebbe vinto Bruno. Nel complesso le probabilità di vincita di Aldo sono del 75% e quelle di Bernardo del 25%.
Questa fu la soluzione proposta da Pascal e Fermat intorno alla metà del Seicento. In quell’epoca questo ragionamento rappresentò una rivoluzione, infatti era opinione comune che gli uomini non avessero alcuna possibilità di prevedere gli eventi fortuiti. Pascal e Fermat dimostrarono che siamo in grado di cogliere le possibilità che il futuro ci riserva e possiamo persino valutarne le probabilità.
2. Carlo e Dario si giocano 80 euro a Testa o Croce. Decidono che la cifra spetterà al primo di loro che avrà ottenuto 6 lanci a proprio favore. Quando sono sul punteggio di 5 per Carlo e 3 per Dario, sono costretti a interrompere il gioco e discutono come spartirsi gli 80 euro che finora nessuno ha vinto. Come va ripartita la cifra?
2. SOLUZIONE. La soluzione è simile alla precedente. Dario ha una probabilità di vincita di (1/2)3 = 1/8, quindi Carlo ha una probabilità di vincita di 7/8, perciò vanno 70 euro a Carlo e 10 euro a Dario.
3. E’ più probabile ottenere almeno un “sei”, lanciando quattro volte un dado oppure ottenere almeno un “dodici”, lanciando ventiquattro volte due dadi?
3. SOLUZIONE. E’ più probabile ottenere un “sei” lanciando quattro volte un dado. In particolare le probabilità sono 51,77%, mentre le probabilità di ottenere “dodici” lanciando ventiquattro volte due dadi, sono del 49,14%.
Anche questo problema fu posto dal Chevalier de Méré a Blaise Pascal. Nella sua confusione il Cavaliere credeva che le probabilità dei due giochi fossero uguali, perché ragionava così: «In un lancio ho 1/6 di probabilità di ottenere “sei”, perciò in quattro lanci, quella di ottenere almeno una volta “sei”, sarà 4/6 = 2/3 corrispondente circa al 67%. E nel secondo gioco ho 1/36 di probabilità di ottenere una coppia di “sei”, perciò in ventiquattro lanci, la probabilità di ottenere almeno una volta una coppia di “sei”, sarà 24/36 = 2/3 anche qui corrispondente al 67%». Ma, nella realtà, il primo gioco gli dava una vincita un po’ più spesso del secondo. Blasie Pascal e Pierre Fermat rovesciarono la domanda.
Per il primo gioco, essi si chiesero qual era la probabilità di non avere alcun “sei” in quattro lanci di un dado. In ognuno dei quattro lanci, la probabilità di non avere “sei” è di 5/6, per cui in base alla legge dell’unione di eventi indipendenti, la probabilità di non avere “sei” è (5/6)4 = 625/1296 = 0,482253. Se queste sono le probabilità di non avere “sei”, le probabilità di avere “sei” saranno date dal suo complemento: (1 – 0,482253) = 0,5177. Questo significa che, in una lunga successione di giocate, si vince in media un po’ più della metà delle volte.
Per il secondo gioco, utilizzando lo stesso procedimento, la probabilità di non avere due “sei” è (35/36)24 = 0,5086. Se queste sono le probabilità di non avere un doppio “sei”, le probabilità di avere un doppio “sei” saranno: (1 – 0,5086) = 0,4914. Questo significa che in una lunga successione di giocate si vince un po’ meno della metà delle volte.
Cerchiamo di capire perché il Chevalier De Méré si sbagliava, Se seguiamo la sua logica, la probabilità di ottenere almeno una volta Testa in due lanci di una moneta è del 100%, perché egli ragionava così: «La probabilità di ottenere Testa, la prima volta è ½ e perciò quella di ottenerla almeno una volta in due lanci è ½ * 2 = 1 quindi del 100%». Questo ragionamento è sbagliato perché non tiene conto delle cosiddette “intersezioni”. Ovviamente il modo corretto di trovare questa probabilità è: 1 – (½)² = ¾ quindi del 75%.
La fallacia del ragionamento di De Méré è ancor oggi molto diffusa nell’opinione comune. Lo statistico David Freedman e altri nel loro libro Statistica fanno l’esempio di un uso scorretto della legge di unione di eventi indipendenti, tratto dal romanzo “L’incursione” di Len Deighton. Nel romanzo si parla di un pilota militare che ad ogni missione ha una probabilità del due per cento di essere abbattuto. Perciò, scrive l’autore, il pilota ha la “certezza matematica” di essere abbattuto nel giro di cinquanta missioni. Anche in questo caso il ragionamento errato è “2 moltiplicato 50 = 100”. Il calcolo corretto, assumendo l’indipendenza delle missioni, è (1 – 0,98)50 = 0,64 quindi del 64%, valore relativamente alto ma lontanissimo dal cento per cento. Sommare 50 probabilità separate, ciascuna del 2%, è sbagliato perché dobbiamo “sottrarre le intersezioni”, sottrazione che è implicita nella formula matematica della legge dell’unione di eventi indipendenti. In questo caso, ovviamente, intersezione vuol dire essere abbattuto due o più volte, il che non ha senso. Ma la regola va sempre eseguita o si otterranno risultati senza senso.
4. E’ più probabile ottenere almeno un “sei”, con un lancio di 6 dadi oppure almeno due “sei”, con un lancio di 12 dadi oppure almeno tre “sei”, con un lancio di 18 dadi?
4. SOLUZIONE. Le probabilità sono rispettivamente 66,51%; 61,87% e 59,73%. La probabilità è maggiore nel primo caso. L’argomento è noto come Problema di Samuel Pepys (1663-1703) scrittore, statista inglese ed amante del gioco d’azzardo, il quale sottopose la questione a Isaac Newton (1642-1727). Il sospetto che i tre giochi presentino un sufficiente grado di simmetria, da non generare vantaggi né per l’uno né per l’altro giocatore, venne smentito dall’esperienza di giocatore di Pepys. Infatti i tre casi presentano probabilità diverse.
A lunedì prossimo.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
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2 risposte
Un ulteriore chiarimento è stato inviato da Nicola Fusco che ringrazio per la partecipazione: “Così come scritto, il quesito è descritto assolutamente male in termini linguistici. La formulazione corretta è: ‘è più probabile ottenere almeno un 6 in sei lanci consecutivi di un dado, ottenere almeno un 12 in sei la ci consecutivi di due dadi, o ottenere almeno un 18 in sei lanci consecutivi di tre dadi?’
Non capisco poi perché l’articolo riporti che sarebbe intuitivo dire che le tre cose sono equiprobabili, quando è abbastanza ovvio (anche senza essere specialisti in probabilità) che la concomitanza di più eventi è sempre meno probabile man mano che il numero di eventi che devono essere concomitanti aumenta.”.
In effetti scrivendo “lanci consecutivi di un dado” come da te indicato, il testo è più chiaro a livello terminologico. Direi comunque che l’aspetto intuitivo non coincide sempre con quello razionale. E’ vero che la concomitanza di più eventi diventa sempre meno probabile al crescere del numero di eventi che devono essere concomitanti, ma l’intuito non sempre lo intende.
Anche questa settimana ho ricevuto diversi commenti e proposte di soluzione. Molte osservazioni hanno riguardato la scarsa chiarezza del testo del problema 4 di Samuel Pepys. Nella stesura iniziale c’era scritto: “E’ più probabile ottenere almeno un “sei”, con un lancio di 6 dadi oppure almeno un “dodici”, con un lancio di 12 dadi oppure almeno un “diciotto”, con un lancio di 18 dadi?”. Effettivamente non era esplicitato che “almeno un dodici” significa “due sei” e “almeno un diciotto” significa “tre sei”. Ho accolto il suggerimento e ho modificato il testo nella versione con le soluzioni. Allego anche una fotografia della soluzione al problema 4, con ottima grafica, presentata da Gaetano De Pasquale che ringrazio per la disponibilità e collaborazione.