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Le soluzioni del 17 gennaio 2022 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri mattina abbiamo presentato sei problemi di logica ricreativa e ora proponiamo le soluzioni con dimostrazione.
La Giornata Mondiale della Logica – soluzioni
L’isola dei cavalieri e dei furfanti. I “cavalieri” dicono sempre la verità ed i “furfanti” mentono sempre. Si presume che ogni abitante sia o un cavaliere o un furfante.
1. Ci sono due persone, A e B, ognuna delle quali è o un cavaliere o un furfante.
A afferma: “Almeno uno di noi due è un furfante”.
Cosa sono A e B?
1. SOLUZIONE. Si procede per ipotesi. Ipotesi (1) Se A fosse un furfante, allora la sua affermazione sarebbe falsa, quindi entrambi sarebbero cavalieri. Ma questa conclusione è in contraddizione con la supposizione (1). Così se A fosse un furfante sarebbe anche cavaliere, che è una contraddizione, perciò A non è furfante ma deve essere un cavaliere. Ora verifichiamo l’ipotesi (2). Se A fosse un cavaliere, la sua affermazione sarebbe vera e B un furfante. Quindi è valida la supposizione (2) perciò A è un cavaliere e B un furfante. In sintesi, con riferimento al “Paradosso di Epimenide”, un bugiardo entra in contraddizione quando afferma “Almeno uno di noi due è un bugiardo”.
2. Ci sono tre persone, A, B e C. Si dice che due persone sono dello stesso tipo se sono entrambe cavalieri o entrambe furfanti. A e B fanno le seguenti affermazioni:
Cos’è C?
2. SOLUZIONE. Procediamo per ipotesi: (1) Se A fosse un cavaliere, B dovrebbe essere un furfante, quindi non sarebbe vero che A e C sono dello stesso tipo, per cui C sarà un furfante. (2) Se A fosse un furfante, B dovrebbe essere un cavaliere, quindi la frase di B sarebbe vera e perciò C sarebbe dello stesso tipo di A cioè furfante. In ogni caso C è furfante.
3. Uno straniero incontra tre abitanti dell’isola: A, B e C. Lo straniero chiede ad A se è un furfante. A risponde alla domanda. Successivamente B dice: “A ha negato di essere un furfante”. Infine C dice: “A è un furfante”.
Cos’è B?
3. SOLUZIONE. La risposta di A è in ogni caso “No”. A può essere sia cavaliere che furfante e in entrambi i casi B è cavaliere. C può essere cavaliere, se A è furfante oppure furfante, se A è cavaliere. In ogni caso B è cavaliere.
Cavalieri, furfanti e normali. Supponiamo che intervengano altri personaggi che chiameremo normali. I normali talvolta mentono e talvolta dicono la verità.
4. Ci sono tre persone, A, B e C, una delle quali è un cavaliere, una un furfante ed una normale, ma non necessariamente in questo ordine. Esse fanno le seguenti affermazioni:
Cosa sono A, B e C?
4. SOLUZIONE. A non può essere un cavaliere quindi sarà o furfante o normale. Se A fosse normale, l’affermazione di B sarebbe vera, per cui B sarebbe un cavaliere (B non può essere un normale poiché lo è già A). Da ciò seguirebbe che C sarebbe un furfante, ma un furfante non può dire che egli non è un normale, perché sarebbe una verità e così abbiamo una contraddizione, per cui va escluso che A sia un normale. Quindi A è un furfante, l’affermazione di B è falsa quindi B è un normale che mente, infine C è il cavaliere. Riassumendo: A: Furfante; B: Normale; C: Cavaliere.
Il pianeta di Og. Il pianeta di Og è abitato da due razze: i verdi e i rossi. Inoltre gli abitanti dell’emisfero settentrionale, cioè coloro che vi sono nati, sono molto diversi da quelli nati nell’emisfero meridionale. I settentrionali verdi dicono sempre la verità e i settentrionali rossi mentono sempre, mentre i meridionali verdi mentono sempre e i meridionali rossi dicono sempre la verità.
5. Due abitanti del pianeta Og, A e B, fanno le seguenti affermazioni:
A: “B è del Nord”. B: “A è del Sud”. A: “B è rosso”. B: “A è verde”
Di che colore sono e di dove sono A e B?
5. SOLUZIONI. Se le affermazioni di A sono vere, allora B è un settentrionale rosso; se sono false, allora B è un meridionale verde. In entrambi i casi B è un bugiardo e perciò A sarà un settentrionale rosso. I settentrionali rossi mentono sempre, quindi anche le affermazioni di A sono false e perciò B sarà un meridionale verde. In conclusione, A è un settentrionale rosso e B un meridionale verde.
I fratelli sul pianeta di Og. I fratelli sul pianeta di Og sono necessariamente dello stesso colore anche se non necessariamente dello stesso emisfero perché la madre può aver messo al mondo uno dei due e poi, qualche tempo dopo, attraversato l’equatore, messo al mondo l’altro.
6. Un meridionale di nome Snort dichiarò una volta di avere ascoltato per caso una conversazione tra due fratelli, A e B, nella quale A diceva che B era un settentrionale e B diceva che A era un meridionale.
Di che colore è Snort?
6. SOLUZIONE. Se il racconto di Snort fosse vero avremmo le seguenti contraddizioni. A e B sono fratelli e quindi sono dello stesso colore. Ora supponiamo che siano rossi. Se A fosse un settentrionale rosso, la sua affermazione sarebbe falsa e quindi B sarebbe un meridionale rosso, che è perciò sincero e non avrebbe potuto affermare falsamente che A è un meridionale e questa è una prima contraddizione. D’altro canto, se A fosse un meridionale rosso, quindi la sua affermazione sarebbe vera, per cui B sarebbe un settentrionale rosso e perciò bugiardo, ma B direbbe il vero sostenendo che A è meridionale e questa è una seconda contraddizione. Quindi i fratelli non possono essere rossi. Un ragionamento simmetrico mostra che non possono essere neanche verdi. In ogni modo, il racconto di Snort è falso e siccome Snort è un meridionale, deve essere un meridionale verde.
A lunedì prossimo.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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Una risposta
Ho ricevuto diversi commenti, a dimostrazione dell’affetto e della riconoscenza che ci ha lasciato Raymond Smullyan. Ne segnalo tre.
Silvio Capobianco
1. Un furfante non può fare l’affermazione vera che uno di loro due è un furfante; quindi, il primo è un cavaliere. Siccome è un cavaliere, la sua affermazione che almeno uno di loro due è un furfante è vera, quindi il secondo è un furfante.
2. Se A è un cavaliere, allora B è un furfante, quindi A e C sono di tipo diverso; perciò, in questo caso, C è un furfante. Se A è un furfante, allora B è un cavaliere, quindi A e C sono dello stesso tipo; perciò, anche in questo caso, C è un furfante.
Vorrei fare una piccola osservazione. In tutta la sua letteratura ludica, Smullyan usa il termine “mentire” nel significato non di “fare affermazioni false”, ma di “asserire il contrario di quello che si crede”. Questo si nota poco con i cavalieri e i furfanti; ma è fondamentale per gli enigmi ambientati in Transilvania, dove gli umani sono sempre sinceri e i vampiri sono sempre bugiardi, ma alcuni sono impazziti e credono vere le cose false e false le cose vere; cosicché gli umani sani e i vampiri matti fanno solo affermazioni vere, mentre gli umani matti e i vampiri sani fanno solo affermazioni false.
Andrea Demozzi.
3. Forse sbaglio, ma mi sembra superflua l’informazione di C. Infatti B è un cavaliere, perché dice la verità a prescindere da chi è A. Infatti, se A è un furfante, A nega di esserlo in quanto dice il falso. Se invece A è un cavaliere, A nega comunque di essere un furfante in quanto dice la verità. Quindi B ha detto in ogni caso la verità, ed è perciò un cavaliere. A che serve l’informazione di C? Grazie.
Sora Keyblede
4. Se A fosse normale, allora direbbe il vero, per cui B sarebbe un cavaliere, ma allora C sarebbe un furfante, ma in quel caso “in non sono un normale” sarebbe vero. Assurdo.
Se A non fosse normale, allora sarebbe un furfante in quanto direbbe il falso, per cui B sarebbe un normale in quanto dice il falso, mentre C sarebbe un cavaliere in quanto dice il vero.
Quindi A: furfante, B: normale, C: cavaliere
5. Se A dicesse il vero, allora B è rosso settentrionale, per cui mente sempre, per cui A è rosso settentrionale, per cui mente sempre. Assurdo.
Se A dicesse il falso, allora B sarebbe verde meridionale, per cui dice sempre il falso, per cui A è rosso settentrionale, per cui mente sempre (ma sta volta è coerente).
Per cui la risposta è B verde meridionale e A rosso settentrionale
6. Sotto l’ipotesi che i fratelli sono verdi.
A dice la verità, per cui B è settentrionale, per cui B dice la verità, ossia A è meridionale, quindi mente sempre. Assurdo
A dice il falso, per cui B è meridionale, per cui B mente sempre, per cui A è settentrionale, per cui dice sempre il vero. Assurdo
Sotto l’ipotesi che i fratelli sono rossi si arriva sempre a degli assurdi come sopra
Per cui Snort è un meridionale verde, in quanto sta mentendo sull’avere ascoltato questa conversazione