16. Soluzioni del 25 ottobre 2021 – Consumo e risparmio consapevoli

I giochi del lunedì di Prisma del 25 ottobre 2021 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri mattina abbiamo proposto una serie di problemi di economia, sul consumo e sul risparmio. Presentiamo ora le soluzioni argomentate. 

Consumo e risparmio consapevoli – soluzioni

1. Consumo e promozioni commerciali. I supermercati e i negozi spesso propongono diversi tipi di sconto, dal classico “Prendi 3 e paghi 2” oppure la cosiddetta “Operazione bis: paghi un pezzo l’altro è gratis” e così via. Nei problemi seguenti, proponiamo una serie di offerte promozionali che, in alcuni casi, possono trarre in inganno il consumatore. Invitiamo il lettore a individuare lo sconto percepito e lo sconto effettivo, che non sempre coincidono.

1. “No IVA 22%! Da noi non paghi l’IVA.”

2. “Sui nostri divani sconti speciali nel mese di agosto del 50% + 40%”

3. “Su una spesa di 100 euro, avrete uno sconto di 30 euro in buoni spesa da consumare nella settimana seguente”

4. “Acquista due T-shirt, la terza verrà scontata del 50%”

5. “Comprate tre prodotti e il meno caro non lo pagate!”

Quali sono le percentuali di sconto effettivamente offerte dai venditori?

1. SOLUZIONI. Nelle promozioni “Prendi tre paghi due” lo sconto è del 33,33%; nelle ”Operazioni bis: paghi un pezzo l’altro è gratis” lo sconto è del 50%.

1. Lo sconto, apparentemente del 22%, è in realtà del 18,04%. Lo sconto effettivo va calcolato sul prezzo finale comprensivo di IVA e non sulla base imponibile. Ad esempio, un televisore dal costo di 1.000 euro più IVA al 22%, avrà un prezzo finale di 1.220 euro e verrà scontato di 220 euro. Lo sconto, di 220 euro, va rapportato a 1.220 euro e non a 1.000 euro. Lo sconto effettivo è quindi 220/1.220 = 0,1803 quindi 18,03%

2. Lo sconto, apparentemente del 90%, in realtà è del 70% perché si tratta di percentuali successive, nelle quali il secondo sconto va calcolato dopo aver sottratto il primo sconto. Ad esempio su un arredamento, dal prezzo di 2.000 euro, prima si sottrae il primo sconto del 50% e sui restanti 1.000 euro si calcola il secondo sconto che è di 400 euro. Infine si paga 600 euro su un prezzo iniziale di 2.000, lo sconto è notevole ma non del 90%. Lo sconto effettivo è 1.400/2.000 = 0,7 quindi 70%.

3. La promozione sembra del 30% ma lo sconto effettivo è solo del 23% circa. Infatti il totale dei prodotti acquistati sarà almeno 130 euro sui quali viene riconosciuto uno sconto di 30 euro. Il risultato si ottiene con la seguente proporzione 100 : x = 130 : 30 quindi x = 23,07%.

4. Lo sconto effettivo è del 16,66%. Ipotizziamo che le T-shirt abbiano un prezzo di 10 euro ciascuna, se ne acquistiamo 3 le paghiamo 25 euro anziché 30 euro. Lo sconto è di 5 euro su 30 euro quindi 5/30 = 0,1666.

5. In questo caso lo sconto è variabile e dipende dal valore del prodotto meno caro. Lo sconto effettivo massimo è del 33% e si ottiene quando si acquistano tre prodotti che hanno prezzi uguali.

2. Risparmio e informazioni. 

A. Un risparmiatore deposita un capitale presso una banca al tasso di interesse annuo del 5%. Dopo quanti anni il suo capitale raddoppia?

B. Se il capitale depositato in una banca raddoppiasse in 10 anni, quale sarebbe il tasso di interesse annuo?

C. Quale importo deve versare un oggi un risparmiatore per ottenere un montante di 15.000 euro, tra 8 anni, con un tasso di interesse del 6% annuo?

Nei tre problemi sul risparmio, l’interesse è composto annuale ossia l’interesse viene capitalizzato annualmente e produce così a sua volta interesse. Per capitale si intende l’importo inizialmente versato e per montante l’importo finale maturato.

2. SOLUZIONI.

A. La formula per calcolare il montante è M = C (1 + i)^t dove M è il montante, C il capitale, i il tasso di interesse unitario, t il numero di anni. In questo caso avremo 2 = 1,05^t, per cui occorre calcolare t, ossia il logaritmo di base 1,05 di 2, che è 14,2067.  Questo significa che il capitale raddoppierà in 14 anni circa.

Un’interessante e curiosa notazione storica. Lo stesso risultato, con qualche approssimazione, si ottiene applicando “regola del 72”, elaborata da Luca Pacioli alla fine del Quattrocento.  Con questa regola si calcola velocemente il numero di anni necessario per raddoppiare un capitale, dividendo il numero 72 per il tasso di interesse. Nel nostro caso 72/5 = 14,4. Straordinariamente vicino al risultato esatto! La regola del 72, che ha subito vari aggiustamenti nel tempo, è accettabile per tassi compresi tra il 6% e il 10% , meno precisa per tassi inferiori e ancor meno precisa per tassi superiori. Pacioli così scriveva: “A voler saper ogni quantità a tanto per 100 l’anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre partirai per l’interesse e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: quando l’interesse è a 6 per 100 l’anno, dico che si parte 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale”.

B. La formula è quella precedente M = C (1 + i)^t con incognita il tasso di interesse. In questo caso diventa 2 = (1 + i)¹⁰ che diviene (1 + i) = ¹⁰√ 2 ≈ 1,0717 quindi il tasso di interesse è 7,17% circa.

C. A partire dalla stessa formula M = C (1 + i)^t questa volta sarà incognito il capitale e avremo 15.000 = C (1,06)⁸. Da cui ricaviamo C = 15.000 / (1,06)⁸ ≈ 9.411,47. 

A lunedì prossimo.