146. Soluzioni del 7 aprile 2025 – Il sogno di un quadrato

Soluzioni del 7 aprile 2025 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo proposto un paio di problemi prendendo spunto da uno stravagante quadrato, dai suoi sogni, dalle sue trasformazioni e da altre geometrie. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.

Il sogno di un quadrato – soluzioni 

1. Nel mondo dei sogni, il tempo e lo spazio si dilatano e si contraggono creando spesso assurde distorsioni che la ragione fatica a comprende. E così un quadrato, pensato come un ipotetico abitante di Flatlandia, sogna di trasformarsi. É flessibile, si contorce, si distorce con i suoi 4 lati della stessa lunghezza e i suoi 4 angoli retti, nulla di più e nulla di meno. Nella figura, a sinistra, vedete come si presenta in pubblico e a destra come si sente dentro di sé. Ecco la domanda: se tale figura esiste, quanto misura l’angolo alfa? E in questa sua nuova forma a “buco di serratura” di quanto è variata l’area in percentuale rispetto all’area del quadrato di origine?

1. SOLUZIONE. Per semplificare lo svolgimento dei calcoli utilizziamo i radianti come unità di misura degli angoli, riportando in un riquadro una breve sintesi sulla conversione da radianti in gradi e viceversa.

Indicando con A, B, C, E i vertici del quadrato, con r e R i raggi rispettivamente dei due cerchi e con α l’angolo cercato, si può scrivere:

• AB = αR
• CD = (2π – α)r
• AB = CD quindi αR = (2π – α)r che diviene r/R = α/(2π – α) da cui r = αR/(2π – α).
• AB = BC quindi αR = R – r  sostituendo r  avremo AB = BC = R – [αR/(2π – α)].

Uguagliando a zero:

α² – 2(π + 1)α. + 2π = 0.

Svolgendo l’equazione di secondo grado si ottiene α₁ = 7,439  (non accettabile perché maggiore di 2π); α₂ = 0,845 (accettabile).

La misura dell’angolo alfa è 0,845 radianti che corrispondono a circa 48 gradi.

L’area della figura a forma di “buco di serratura”, rispetto all’area del quadrato originario, è diminuita del 31,6% circa. Per i calcoli e lo svolgimento rinviamo alle ottime proposte di soluzione di Giorgio Vecchi e Massimo Molinelli che ringraziamo per la partecipazione. 

2. In questo secondo problema il nostro stravagante quadrato va a mapparsi su un’ideale sfera terrestre, come illustrato in figura. La lunghezza di ciascun lato deve essere la stessa, gli angoli devono essere gli stessi, i lati devono essere dritti e paralleli. Si inizia dall’equatore (1), poi si viaggia verso nord lungo la linea gialla e dopo n miglia si raggiunge (2) quindi si svolta di 90 gradi a sinistra verso ovest lungo la linea blu. Dopo aver viaggiato per n miglia attorno alla parte posteriore della sfera fino a (3) si gira di 90 gradi a sinistra e si viaggia verso sud lungo la linea rossa. E dopo n miglia si raggiunge (4) poi si svolta di 90 gradi a destra verso ovest lungo la linea verde, tornando così al punto di partenza.

In questo sistema di coordinate, il segmento della linea verde è parallelo al segmento della linea blu (stessi valori di latitudine, rettilineo est-ovest). Il segmento della linea gialla è parallelo al segmento della linea rossa (stessi valori di longitudine, dritto nord-sud). Per un certo valore di n, si torna al punto di partenza, completando il “quadrato”. Qual è il valore di n? Quali sono le coordinate degli angoli?

2. SOLUZIONE. Stiamo cercando le coordinate geografiche dei vertici del quadrato, espressi in latitudine e longitudine, che indichiamo con (0,0) (L,0) (L,L) e (0,L). La formula è abbastanza complicata (rinviamo alla ottima proposta di soluzione di Giorgio Vecchi). Abbiamo inserito le coordinate e le formule della distanza in un foglio di calcolo e per tentativi e approssimazioni abbiamo scoperto che circa 75° (L,L) fornisce un risultato accettabile, rendendo la lunghezza di ciascun lato circa 8.330 km. Iniziamo in un punto arbitrario sull’equatore. Scegliamo (1) Telaga, Indonesia, coordinate 0°N, 103°40’E. Voliamo dritto verso nord per 8.330 km fino a (2) a 75°00′N, 103°40’E (che è a nord del Lago Taymyr in Russia). Svoltiamo a sinistra, volando verso ovest, 8.330 km facendo il giro del pianeta fino a (3) a 75°00′N, 28°40’E (nel Mare di Barents). Svoltiamo a sinistra, volando verso sud per 8.330 km fino a (4) a 00°00′N, 28°40’E (a nord di Burako, nella Repubblica Democratica del Congo). Ora giriamo a destra, verso ovest per 8.330 km, tornando a Telaga.

I Giochi del Lunedì di Prisma tornano tra due settimane.