Soluzioni del 10 febbraio 2025 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo presentato cinque problemi prendendo spunto dal libro “Il richiamo delle coincidenze – Gemme matematiche, modelli particolari e altre storie di serendipità numerica” di Oven O’Shea. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.
Il richiamo delle coincidenze – soluzioni
1. Un consumatore acquista quattro articoli in un minimarket “7 ELEVEN” e spende in totale 7,11 $.
7-ELEVEN – La catena internazionale di minimarket prende il nome dall’orario di apertura dalle 7am alle 11pm. L’acquirente dice: “Che divertente, questo è anche il nome del negozio”. Il cassiere afferma: “Che strana coincidenza, ho moltiplicato i prezzi dei quattro articoli e il risultato coincide con la somma da pagare”.
Quali sono i prezzi dei singoli articoli? [Suggerimento: uno dei prezzi è $ 3,16 e gli altri prezzi sono divisibili per 5 cents.]
1. SOLUZIONE. Indichiamo i prezzi con a, b, c e d. Avremo
I prezzi nel negozio sono in dollari e cents, quindi li moltiplichiamo per 100 per eliminare la virgola decimale.
Per comodità utilizziamo le lettere maiuscole: A = 100a, B = 100b, C = 100c, D = 100d, così possiamo riscrivere
Dobbiamo risolvere queste due equazioni e lo facciamo trovando i fattori primi di 711 milioni che sono: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 79. Ora cerchiamo quali di questi fattori primi compongono A, B, C e D. Sappiamo che un articolo costa $ 3,16, che corrisponde a 316 poiché abbiamo moltiplicato i prezzi per 100. I fattori primi di 316 sono 79 x 2 x 2. Quindi A = 79 x 2 x 2. Sappiamo inoltre che gli altri tre prezzi si dividono per 5c. Quindi 5 è un fattore di B, C e D. Dalla [3] otteniamo B + C + D = 395. Combinando le scomposizioni in fattori primi otteniamo B = 5 x 5 x 5 = 125, C = 5 x 3 x 2 x 2 = 120 e D = 5 x 5 x 3 x 2 = 150. Quindi il i prezzi sono $ 1,25. $ 1,20. $1,50. Infatti in questo modo gli importi se sommati o moltiplicati, danno il risultato 7,11. L’aspetto intrigante di questo enigma non è tanto la soluzione matematica, ma quello di trovare una simile coincidenza aritmetica con un marchio internazionale.
2. Adamo acquista un certo numero di mele in un negozio al prezzo di 3 mele per 1 euro. Poi acquista lo stesso numero di mele in un altro negozio al prezzo di 5 mele per 1 euro. Qual è stato il numero medio di mele acquistate per ogni euro speso?
2. SOLUZIONE. Questo è un problema tipico di media ponderata che porta intenzionalmente a dare una risposta sbagliata. In un primo momento, si potrebbe pensare che il numero medio di mele acquistato sia 4 per 1 euro, quindi 0,25 euro per mela, ma ciò non è corretto. Supponiamo che Adamo compri 15 mele in ogni negozio: spenderebbe € 5 nel primo negozio e € 3 nel secondo negozio, quindi con una spesa totale di € 8 avrebbe 30 mele, perciò per ogni euro speso, ha acquistato 30/8, ovvero 3,75 mele, che è la risposta corretta al problema. Se Adamo avesse speso lo stesso numero di euro per negozio, il numero medio di mele per euro speso sarebbe 4. Ma la domanda chiarisce che ciò che è uguale è il numero di mele acquistate, non il denaro speso.
3. Supponiamo di lanciare cinque dadi a sei facce. Cos’è più probabile: che non esca un 6 o che uscirà esattamente un 6?
3. SOLUZIONE. La probabilità che non esca un 6 in cinque lanci del dado è (5/6)5 = 0,401877572. La probabilità che esca esattamente un 6 in cinque lanci è (5/6)4 (1/6) (5/1) = 0,401877572. Le due probabilità sono uguali.
4. Il costo per la costruzione di una piscina circolare di raggio 20 metri è 50.000 euro. Supponendo i costi siano esattamente proporzionali alla superficie della piscina, quanto costerebbe la costruzione di una seconda piscina di raggio 40 metri?
4. SOLUZIONE. L’area della seconda piscina è 4 volte maggiore delle prima piscina, quindi il costo sarebbe 200.000 euro.
5. Supponiamo che da un mazzo di 52 carte ben mescolato, vengano estratte 5 carte in modo casuale. È più probabile tra le 5 carte ci siano esattamente 2 carte rosse o esattamente 3 carte rosse?
5. SOLUZIONE. Se le 5 carte estratte contengono esattamente 2 carte rosse, devono contenere 3 carte nere. Pertanto la probabilità che vengano estratte 2 carte rosse è esattamente la stessa che siano estrarre 3 carte nere: ciò a sua volta significa che la probabilità di estrarre esattamente 2 carte rosse è identica alla probabilità di estrarre esattamente 3 carte rosse.
I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
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