I Giochi del Lunedì di Prisma del 10 febbraio 2025 a cura di Fabio Ciuffoli
Oggi proponiamo cinque problemi prendendo spunto dal libro “Il richiamo delle coincidenze – Gemme matematiche, modelli particolari e altre storie di serendipità numerica” di Oven O’Shea. Il libro contiene sorprendenti curiosità esplorando le straordinarie coincidenze numeriche e la matematica che le rende possibili e probabili. Invitiamo i lettori a inviarci osservazioni e proposte di soluzione utilizzando lo spazio riservato ai commenti. Domani alle ore 17.00 pubblicheremo le nostre proposte di soluzione.
Il richiamo delle coincidenze.
1. Un consumatore acquista quattro articoli in un minimarket “7 Eleven” e spende in totale 7,11 $.
7-ELEVEN – La catena internazionale di minimarket prende il nome dall’orario di apertura dalle 7am alle 11pm. L’acquirente dice: “Che divertente, questo è anche il nome del negozio”. Il cassiere risponde: “Che strana coincidenza, ho moltiplicato i prezzi dei quattro articoli e il risultato coincide con la somma da pagare”.
Quali sono i prezzi dei singoli articoli? [Suggerimento: uno dei prezzi è $ 3,16 e gli altri prezzi sono divisibili per 5 cents.]
2. Adamo acquista un certo numero di mele in un negozio al prezzo di 3 mele per 1 euro. Poi acquista lo stesso numero di mele in un altro negozio al prezzo di 5 mele per 1 euro. Qual è stato il numero medio di mele acquistate per ogni euro speso?
3. Supponiamo di lanciare cinque dadi a sei facce. Cos’è più probabile: che non esca un 6 o che uscirà esattamente un 6?
4. Il costo per la costruzione di una piscina circolare di raggio 20 metri è 50.000 euro. Supponendo i costi siano esattamente proporzionali alla superficie della piscina, quanto costerebbe la costruzione di una seconda piscina di raggio 40 metri?
5. Supponiamo che da un mazzo di 52 carte ben mescolato, vengano estratte 5 carte in modo casuale. È più probabile tra le 5 carte ci siano esattamente 2 carte rosse o esattamente 3 carte rosse?
Aggiornamento per le soluzioni click qui.
I problemi 2, 3, 4 e 5 sono tratti dal libro The call of coincidence di Owen O’Shea, Prometheus Books, Lanham MD, 2023
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
Siamo sempre alla ricerca di nuovi giochi e nuove proposte. Se vuoi suggerirne uno, scrivici un’e-mail a:
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
PRISMA: pubblicazione mensile registrata presso il Tribunale di Milano (N. 235 del 19.09.2018).
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10 risposte
Errata corrige problema 2
(m/3)+(m/5)=8m/15 ( euro spesi per m mele)
2m/(8m/15)=15/4=3,75 ( mela per euro)
Perfetto, nel pomeriggio le soluzioni commentate.
Problema1
Dai dati del quesito segue:
1) 3,16+a+b+c=7,11->1) a+b+c=3,95
2) 3,16*a*b*c=7,11 -> 2) abc=2,25
ma
a, b, c, divisibili per 0,05-> abc divisibile per 0,000125 e
a+b+c divisibile per 0,05
Divido 1° e 2° membro della 1) per 0,05 e 1° e 2° membro della 2) per 0,000125, ho:
1) a+b+c=79 -> a<79, b<79, c<79
2) abc=18000 ( con a<79, b<79, c<79)
scompongo 18000 in fattori primi
18000=5³*3²*2⁴=125*9*16=25*45*16, che scrivo come prodotto di fattori ciascuno79, scrivo la 1) e 2) come segue:
1) 25+b+c=79-> 1) b+c=54
2) 25*bc=18000-> 2) bc=720
Da cui:
b²-54b+720=0
b=27-+√(729-720)=27-+3-> b1=24, b2=30
Il sistema 1) e 2) è simmetrico, per cui:
Per b=24, c=30, per b=30, c=24
a=25, b=24, c=30 soddisfano le condizioni 1) e 2) ( in caso contrario avremmo continuato per tentativi)
Per trovare i prezzi degli articoli basta moltiplicare ciascun valore trovato per 0,05, per cui:
a=25*0,05=1,25
b=24*0,05=1,20
c=30*0,05=1,50
3,16+1,25+1,20+1,50=7,11
3,16*1,25*1,20*1,50=7,11
Problema2
(m/3)+(m/5)=8m/15 ( euro spesi per m mele)
2m/(8m/15)=15/4=3,75 ( euro per mela)
Problema 3
Problema delle prove ripetute (Bernoulli)
La probabilità che nel lancio di un dado esca un 6 o che non esca un 6 è:
P(6)=1/6-> P(non 6)=5/6
Ma si tratta di 5 dadi, cioè di prove ripetute (Bernoulli)
In questo caso per 5 dadi con 0 successi [con (n su k) indico il coefficiente binomiale che su n prove ripetute k abbiano successo]
P(0)=coeff. binomiale(n su 0)p^0*q^5-> nel mio caso P(0)=P(non 6)
P(non 6)=coeff. bin.(5 su 0)p^0q^5=1*(1/6)^0*(5/6)^5=(5/6)^5
P(non 6)=(5/6)^5
P(6)=P(1 volta 6 su 5 prove)
Su 5 prove la probabilità che esca 6 una sola volta è
P(1 ssucc. 5 prove)=ceff. bin.(5su1)p^1*q^4=5*(1/6)*(5/6)^4=(5/6)^5
P(0 succ. su 5 prove)=P(1 succ. su 5 prove)
La probabilità è la stessa.
Problema 4
A(C. r=20m)=400π
50.000/400π=(125/π )(euro/m²)
A(C r=40m)=1600π*(125/π)=200.000€
Problema 5
P(E)=Casi favorevoli/casi equipossibili
Indico con (n su k) coefficiente binomiale
Casi favorevoli=(26su2)*(26su3)
Casi equipossibili=(52su5)
P(2rosse)= (26su2)*(26su3)/(52su5)=0,325
P(3rosse)=(26su3)*(26su2)/(52su5)=0,325
P(2rosse)=P(3rosse)
Per quanto riguarda il primo esercizio (gli altri sono già stati commentati attentamente):
– siano a,b,c,d i prezzi: allora a+b+c+d = 7,11 = abcd
– usando il suggerimento abbiamo: b+c+d = 3,95 e bcd = 2,25
– siano B=20b, C=20c, D=20d: allora B+C+D = 79 e BCD = 18000. Sappiamo che B,C,D devono essere interi positivi in quanto b,c,d sono multipli di 0,05 (per il suggerimento).
– notiamo che tra B,C,D c’è esattamente un dispari ragionando modulo 2. Supponiamo sia D; allora possiamo porre B=2E e C=2F.
– dando valori a D in {1,3,5,9,15,25,45,75} (divisori dispari di 18000 minori di 79) possiamo determinare E+F ed EF.
– trovare due numeri noti somma s e prodotto p equivale a risolvere l’equazione di secondo grado x^2-sx+p=0, che in particolare fornisce soluzioni sse s^2-4p>0, cosa che avviene solamente se D=25. Otteniamo quindi {E,F}={12,15}.
– risalendo le uguaglianze otteniamo a=3,16, b=1,50, c=1,20 e d=1,25.
Un paio di osservazioni:
1. Probabilmente esiste un modo di determinare B,C,D con più “pulizia” lavorando modulo opportuni interi. Diciamo che a una certa ho preferito andare per esaustione di casi piuttosto che impelagarmi con i residui mod p.
2. Immagino, ma potrei sbagliare, che i suggerimenti si riescano comunque a dimostrare senza assumerli a priori, e suppongo che il modo corretto di farlo sia sempre ragionare con l’aritmetica modulare…
Ottimo, a domani per le soluzioni commentate.
1. 1.20 1.25 1.50 3.16
2. m/3 + m/5 = 2. m = 3.75
3. Stessa probabilità: (5/6)^5 = 1/6*(5/6)^4*5 = 3125/7776
4. 200.000 euro
5. Stessa probabilità: 26/52*25/51*24/50*26/49*25/48*10 = 1625/4998. Si può anche ragionare così: siccome la probabilità che escano esattamente 3 carte rosse equivale alla probabilità che escano esattamente 2 carte nere, per simmetria la probabilità è la stessa.
Giorgio inappuntabile, come sempre. A domani per le soluzioni con i commenti.
3,14*20²=1.256 m²
50.000/1256=39,808917 euro/m²
3,14*40²=5.024 m²
5.024*39,808917=200.000 euro (costo della seconda piscina)
1) 3,16 x 0,75 x 1,5 x 2=7,11$
2) 12 mele al primo negozio ; 12 mele al secondo negozio
12/3=4 euro ; 12/5=2,4 euro
12+12=24 mele
4+2,4=6,4 euro
24/6,4=3,75 mele per ogni euro speso
Al problema 1, la tua proposta di soluzione dà come somma 7,41 $ e quindi è da rivedere.
A domani per tt le soluzioni commentate.