138. Soluzioni del 16 dicembre 2024 – La Statistica e i polli di Trilussa

1. SOLUZIONE  esercitazione. Presentiamo di seguito la soluzione dell’esercitazione e successivamente due casi estremi : CASO A massima concentrazione (i cinque polli sono mangiati da una sola persona); CASO B massima uguaglianza (ogni persona mangia un pollo).

Media aritmetica: somma dei valori / n. totale dei valori = (1 + 0 + 1,5 + 0 + 2,5)/5 = 1

Mediana: si ordinano i valori dal più piccolo al più grande e si individua quello di mezzo: 0 + 0 + 1 + 1,5 + 2,5 mediana = 1.

Moda: valore che compare con maggior frequenza = 0

Campo di variazione: valore massimo – valore minimo = 2,5 – 0 = 2,5

Scarto semplice medio: media degli scarti presi in valore assoluto: (1 + 1 + 0 + 0,5 + 1,5)/5 = 0,8

Varianza: media degli scarti elevati al quadrato  [(-1)² + (-1)² + 0² + 0,5² + 1,5²)/5 = 0,9

Scarto quadratico medio: radice quadrata della varianza √ 0,9 = 0,95

L’indice Gini è un coefficiente che misura il livello di concentrazione di un fenomeno. Viene spesso utilizzato per verificare se variabili, come il reddito, la ricchezza o in questo caso il consumo di polli, siano più o meno equidistribuiti in una popolazione. C’è equidistribuzione se il fenomeno ha la più bassa concentrazione possibile, quando ciascun individuo possiede la stessa quantità della media dei dati, mentre c’è concentrazione massima se un solo individuo possiede tutta la quantità e gli altri nulla. L’indice Gini è sempre compreso tra 0 (caso di equidistribuzione) e 1 (caso di massima concentrazione). Per il calcolo dell’indice Gini e per la costruzione della Curva di Lorenz si predispone la seguente tabella.

Le unità sono i polli consumati ordinati in modo crescente; le unità cumulate (S_i) sono le somme graduali dei consumi accumulati; le frequenze cumulate (P_i) sono le quote di persone, che consumano una determinata unità, appunto accumulate; le unità relative cumulate (Q_i = S_i /tot.) sono le proporzioni di unità consumate dalle rispettive quote di persone P_i accumulate.

Ora possiamo utilizzare la formula dell’indice di Gini

andando a sostituire G = 1- [(0,2 + 0,5) / (0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8)] = 1 – (0,7 / 2) = 0,65.

In generale è possibile interpretare il livello di concentrazione di Gini:

Nel nostro caso rileviamo una concentrazione medio-alta.

La Curva di Lorenz. Il livello di concentrazione si può rappresentare graficamente mediante la Curva di Lorenz ossia un grafico ottenuto unendo con segmenti i punti di coordinate P_i, Q_i definiti in tabella, che formano una spezzata. La regione del grafico delimitata dalla Curva di Lorenz e dalla bisettrice indica la concentrazione del fenomeno: maggiore è tale area maggiore è la concentrazione.

L’indice Gini e la Curva di Lorenz rivelano una notevole concentrazione nel consumo di polli. Ad esempio, il punto di coordinate P₃, Q₃ indica che al 60% delle persone spetta solo il 20% dei polli totali.

Teoricamente, l’indice Gini rappresenta il rapporto tra le aree A / (A + B).

In conclusione, se avessimo utilizzato l’indice Gini o la Curva di Lorenz saremmo stati in grado di capire chi ha mangiato i due polli della poesia di Trilussa!

Come anticipato, presentiamo di seguito i calcoli e le tabelle riferiti ai due casi estremi: CASO A  massima concentrazione (i cinque polli sono mangiati da una sola persona); CASO B massima uguaglianza (ogni persona mangia un pollo).

Caso A massima concentrazione

Media aritmetica: somma dei valori / n. totale dei valori = (0 + 0 + 0 + 0 + 5)/5 = 1

Mediana: si ordinano i valori dal più piccolo al più grande e si individua quello di mezzo: 0 + 0 + 0 + 0 + 5 mediana = 0.

Moda: valore che compare con maggior frequenza = 0

Campo di variazione: valore massimo – valore minimo =  5 – 0 = 5

Scarto semplice medio: media degli scarti presi in valore assoluto: (1 + 1 + 1 + 1 + 4)/5 = 1,8

Varianza: media degli scarti elevati al quadrato  [(-1)² + (-1)² + (-1)^{2 +} (-1)² + 4²]/5 = 5

Scarto quadratico medio: radice quadrata della varianza √5 = 2,24

Caso B massima equità

Media aritmetica: somma dei valori / n. totale dei valori = (1 + 1 + 1 + 1 + 1)/5 = 1

Mediana: si ordinano i valori dal più piccolo al più grande e si individua quello di mezzo: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 mediana = 1.

Moda: valore che compare con maggior frequenza = 1

Campo di variazione: valore massimo – valore minimo =  1 – 1 = 0

Scarto semplice medio: media degli scarti presi in valore assoluto: (0 + 0 + 0 + 0 + 0)/5 = 0

Varianza: media degli scarti elevati al quadrato  0² + 0² + 0²  + 0² + 0²]/5 = 0

Scarto quadratico medio: radice quadrata della varianza √0 = 0

L’indice Gini

A. Massima concentrazione G = 1- [(0/(0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8)] = 1 – (0/2) = 1.

B.Massima equità G = 1- [(0,2 + 0,4 + 0,6 +0,8)/(0,2 + 0,4 + 0,6 +0,8)] 0 1 – (2/2) = 0.

La Curva di Lorenz

A. Massima concentrazione. L’area di concentrazione è massima, teoricamente data dall’area del triangolo rettangolo con ipotenusa la bisettrice del grafico e cateti 1.

B. Massima equità. L’area di concentrazione è nulla, quindi la spezzata coincide con la bisettrice nel grafico.

Riportiamo in tabella i vari indicatori a confronto tra massima concentrazione e massima equità.

La media aritmetica è uguale, come rileva Trilussa, ma tutti gli altri indicatori si collocano all’estremo opposto.