129. Giochi del 12 agosto 2024 – Probabilità, cerchi e circonferenze

11 risposte

1. Riguardo al problema 1 si deve fare il rapporto tra l’area della circonferenza concentrica al bersaglio di raggio pari alla metà del raggio del bersagio e l’area del bersaglio stesso. Come è noto il rapporto tra aree di figure simili e pari al quadrato del rapporto tra segmenti corrispondenti, quindi la probabilità richiesta è 1/4.
   Per il problema 2, Il primo punto P può stare ovunque. A partide da P disegnamo l’esagono regolare inscritto nella circonferenza e indichiamo con A e B i due vertici più vicini a P.
   Come è noto, l’esagono regolare inscritto in una circonferenza ha i lati uguali al raggio della circonferenza, quindi il secondo punto Q si trova a distanza minore o uguale al raggio se si trova nell’arco AB che contiene P. Evidentemente tale arco è lungo un terzo della circonferenza, quindi la probabilità richiesta è 1/3.

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2. Prova 1

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3. https://math.stackexchange.com/questions/3397331/probability-of-euclidean-distance-between-two-random-points-inside-a-unit-circle?fbclid=IwY2xjawEoPqxleHRuA2FlbQIxMAABHQTuhwpwyVNzAIAYLvdkncScqdaNrSRwCpB7MnXsZQtkjsgt2BfR30dqtg_aem_sKE5ikNwMnucs-KKwKTNkA

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4. 2. Più interessante se i 2 punti sono presi a caso nel cerchio…

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   1. Riporto un interessante scambio di opinioni tra Antonio Fanari e Giorgio Vecchi su un social media di divulgazione matematica.
      Antonio Fanari: Nel caso di distribuzione uniforme canonica
      P(||P₁-P₂||≤r)=61/48-√3/π
      P≈0.719504437…
      Nel caso di distribuzione uniforme nel piano cambia la p.d.f. e si dimostra che:
      P(||P₁-P₂||≤r)=1-3√3/(4π)
      ossia
      P(||P₁-P₂||≤r)≈0.586503328…

      Giorgio Vecchi a Antonio Fanari: come arrivi a quel risultato? Io però trovo un valore diverso: ~0.58650.

      Antonio Fanari a Giorgio Vecchi: ho fatto una ricerca sul web, il problema è tosto forse è sbagliata la soluzione che ho postato perché un altro link da la tua soluzione.
      Ti invio i link:
      la tua soluzione:
      https://math.stackexchange.com/…/probability-that-the…
      quella che ho postato io:
      https://math.stackexchange.com/…/probability-of…
      Probability that the distance between two random points inside a circle is less than some value
      MATH.STACKEXCHANGE.COM
      Probability that the distance between two random points inside a circle is less than some value
      Probability that the distance between two random points inside a circle is less than some value

      Antonio Fanari a Giorgio Vecchi: forse è corretta la tua anche perché è in accordo con la simulazione, il problema a quanto pare su cui discutono è la definizione di distribuzione uniforme entro un disco, per wolfram ad esempio la distribuzione uniforme è questa e porta a una specifica distanza media:
      https://mathworld.wolfram.com/DiskLinePicking.html
      Wolfram MathWorld: The Web’s Most Extensive Mathematics Resource
      MATHWORLD.WOLFRAM.COM
      Wolfram MathWorld: The Web’s Most Extensive Mathematics Resource

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   2. https://math.stackexchange.com/questions/2901090/probability-that-the-distance-between-two-random-points-inside-a-circle-is-less?rq=1&fbclid=IwY2xjawEoPhVleHRuA2FlbQIxMAABHT1jWBRPLFSsDjYSiBuNOvTXIB4ygDEzz1hO-xHIdTw-0Y1sDbeXU7vbIA_aem_GSN_KyDrYWEGb7mg-ehePQ

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5. 1. Si tratta di pesare l’area del cerchio di raggio r/2: pi(r/2)^2
   rispetto a quella del cerchio che lo contiene di raggio r: pir^2
   Quindi la probabilità è 1/4
   2. La distanza di due punti sulla circonferenza è minore di r se i rispettivi raggi formano un angolo minore di 60° o maggiore di 300°
   Quindi 120°/360°=1/3

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6. Quesito n.1: 1/4.
   Quesito n.2: 1/3.

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7. Buongiorno Luigi, secondo me manca una considerazione per completare il ragionamento e quindi il risultato. A domani per un confronto e per la soluzione commentata.

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   1. Vero, hai ragione, non ho tenuto conto del fatto che P1 è uno spigolo comune a 2 lati dell’esagono. Quindi la probabilità cercata è 2/6

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8. Problema 2. Enunciato lo scriverei così:
   Dato un punto qualsiasi P1 su una circonferenza, quale è la probabilità che, scegliendo un altro punto a caso P2, la sua distanza da P1 sia minore della sua distanza dal centro della circonferenza.
   Per risolverlo basta considerare che la distanza tra due punti della circonferenza equivale alla loro distanza dal centro quando essi sono i vertici di un lato di un esagono regolare… per cui la probabilità cercata è 1/6

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