125. Soluzioni del 17 giugno 2024 – Giardini, aiuole e prati

Soluzioni del 17 giugno 2024 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato due giochi che hanno fatto parte delle gare internazionali di matematica negli ultimi anni e di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.  

Giardini, aiuole e prati – soluzioni 

1. Una villa si affaccia sul lago con un grande giardino che deve essere piantumato e si decide di tenerlo in parte a prato e in parte coperto di fiori multicolore. Il giardino ha una forma che si può schematizzare con un trapezio isoscele ABCD le cui diagonali si incontrano in O come disegnato in figura. Si sa che le parti a prato misurano rispettivamente AOB, 50 m² e DOC 32 m². Quanto misurano le parti destinate ai fiori?1. SOLUZIONE. Presentiamo due diversi modi per arrivare alla soluzione.

I. I due triangoli isosceli a prato DOC e AOB sono simili, con aree in rapporto 50/32 = 25/16. Le misure lineari sono quindi in rapporto √(25/16) = 5/4. Indicando con h₁ l’altezza del triangolo AOB avremo h₁ = 50 • 2 /AB = 100/AB. Allo stesso modo, indicando con h₂ l’altezza del triangolo DOC avremo h₂ = 64/DC. Abbiamo considerato che DC = (4/5)AB quindi sostituendo, avremo h₂ = 64/ [(4/5) AB] che diviene h₂ = 80/AB. L’area totale del trapezio è (AB + (4/5)AB ) • (100/AB + 80/AB)] /2 = [(9/5)AB • 180/AB] /2. Semplificando 9/5 • 180/2 = 162. Infine 162 – 50 – 32 = 80 m² è l’area totale delle parti da coprire con fiori.

II. Indichiamo con X le aree dei due triangoli congruenti, con S₁ e S₂ le aree note rispettivamente di 50 m² e 32 m² come disegnato in figura.

Sappiamo che due triangoli con uguale altezza hanno le aree proporzionali alle rispettive basi. In questo caso i quattro triangoli hanno basi comuni che abbiamo indicato con a e con b. Precisamente i triangoli X e S₂ hanno uguale altezza perciò X = bh/2 e S₂ = ah/2 per cui X/S₂ = b/a. Lo stesso vale per i triangoli S₁ e X per cui S₁/X = b/a. Consegue che X/S₂ = S₁/X. Da cui X² = S₁ • S₂  che diviene X = √(50 • 32) = 40 m².

2. Il disegno seguente rappresenta, in pianta, un giardino. L’area verde del rettangolo è uguale all’area della cornice piastrellata bianca. Trovare i valori interi in metri delle dimensioni del rettangolo verde in modo che l’area sia la minima possibile.

2. SOLUZIONE. Diverse e interessanti proposte di soluzione sono state indicate nei commenti. Noi presentiamo la soluzione empirica per tentativi e un breve cenno alla soluzione teorica che prevede l’utilizzo di un’equazione di secondo grado.

Indichiamo con a e con b i due lati del rettangolo verde. 

ab = (b + 6) • (a + 6) – ab  

2ab = ab + 6b + 6a + 36

ab = 6b + 6a + 36

ab – 6a = 6b + 36

a(b – 6) = 6b + 36

a = (6b + 36) / (b – 6) quindi b deve essere intero e maggiore di 6. I valori possibili di b e a sono:

In modo empirico troviamo i valori di a e b, che danno l’area minima del rettangolo verde e della cornice, che sono 14 e 15  o viceversa (14 • 15 = 210 m²).

Per la dimostrazione teorica occorre impostare un’equazione di secondo grado con la derivata si individua il minimo e considerando i valori interi adiacenti si trova il risultato.

A lunedì prossimo.