105. Soluzioni dell’11 settembre 2023 – I rompicapo di Bogotà

Le soluzioni dell’11 settembre 2023 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato tre giochi proposti dal matematico colombiano Bernardo Recaman Santos nel libro, I rompicapo di Bogotà, da poco pubblicato in Italia. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.

I rompicapo diBogotà 

1. Bernardo e Filippo lasciano ciascuno la propria casa nello stesso momento e si dirigono uno verso casa dell’altro in bicicletta. Tengono una velocità costante e quando si incrociano sono a 16 km dalla casa di Bernardo. Continuano ognuno fino a casa dell’altro e poi, tornando indietro verso casa propria, per lo stesso percorso e alla stessa velocità dell’andata, si incontrano a 18 km dalla casa di Filippo. A che distanza sono le due case?

1. SOLUZIONE. Quando Bernardo e Filippo si incontrano la prima volta, hanno complessivamente coperto la distanza fra le due case. Di questa distanza, Bernardo ha percorso 16 km. Quando si incontrano per la seconda volta, hanno complessivamente percorso tre volte la distanza tra le loro case. Visto che viaggiano a velocità costante, Bernardo avrà percorso esattamente 16 * 3 = 48 km, che corrispondono alla distanza tra le due case più 18 km. La distanza tra le case è quindi 30 km.

2. Una barca a motore impiega tre giorni per andare dal punto A al punto B di un fiume e impiega quattro giorni per tornare indietro. Quanto impiega un tronco d’albero per essere trasportato dalla corrente del fiume dal punto A al punto B? [si presuppone una condizione ideale: velocità della barca costante, corrente costante, assenza di ostacoli, ecc]

2. SOLUZIONE. Chiamiamo D la distanza tra il punto A e il punto B, indichiamo con v la velocità della barca e con x la velocità della corrente. Dalla formula generale t = s/v avremo: D/(v + x) = 3 giorni; D/(v – x) = 4 giorni. Uguagliando D:

3(v + x) = 4(v – x) da cui otteniamo v = 7x ossia la velocità del motoscafo è sette volte quella della corrente. Andando a sostituire avremo D/(8x) = 3 giorni. Per cui il tempo che occorre al tronco per essere trasportato da A a B è D/x = 24 giorni.

3. Tre contadini sono al mercato per vendere polli. Un contadino ha 10 polli da vendere, un altro ne ha 16 e l’ultimo 26. Per non farsi troppa concorrenza, si sono accordati nel vendere i polli tutti allo stesso prezzo. Ma fino all’ora di pranzo le vendite non sono andate bene, così hanno deciso di abbassare tutti insieme il prezzo, sempre comune a tutti e tre. Alla fine della giornata hanno venduto tutti i polli e ognuno di loro ha incassato esattamente 35 euro. Qual è stato il prezzo dei polli prima di pranzo e quello dopo pranzo?

3. SOLUZIONE. Il problema appare a prima vista impossibile a causa delle poche informazioni rispetto alle incognite, infatti il procedimento si rivelerà davvero intrigante. Formalizzando il problema, infatti, avremo un sistema di cinque incognite e tre sole equazioni: chiamiamo p e q i prezzi dei polli rispettivamente prima e dopo pranzo e indichiamo con x, y e z i numeri dei polli venduti prima di pranzo rispettivamente dal contadino che ne possiede 10, da quello che ne possiede 16 e da quelle che ne possiede 26.

•    (px + q(10 – x) = 35
•    py + q(16 – y) = 35
•    pz + q(26 – z) = 35

L’informazione che permette di risolvere il sistema è che in realtà su queste variabili ci sono delle condizioni: x, y e z infatti devono essere numeri naturali e lo stesso vale per 10 – x, 16 – y e 26 – z, che devono essere positivi altrimenti qualcuno dei venditori avrebbe venduto tutti i suoi polli prima di pranzo e non sarebbe insoddisfatto delle vendite mattutine. Inoltre abbiamo che p > q > 0.

Ora sottraiamo dalla prima equazione, una volta la seconda e una volta la terza.

•   p(x – y) – q(6 + x – y) = 0
•   p(x – z) – q(16 + x – z) = 0

Moltiplichiamo la prima di queste equazioni per (x – z) e la seconda per (x – y)

•   (x – z) p (x – p) = (x – z) q (6 + x – y)  
•   (x – y) p (x – z) = (x – y) q (16 + x – z)

Sottraiamo la seconda dalla prima e a sinistra i termini si annullano.

•   (x – z) q (6 + x – y)  = (x – y) q (16 + x – z)

Svolgendo, otteniamo l’equazione 8y = 5x + 3z, che va risolta con metodi euristici cercando soluzioni intere. Considerando le soluzioni con x > y > z, possiamo individuare due soluzioni: (9, 6, 1) e (8, 5, 0). L’unica soluzione che permette ai due prezzi p e q un risultato accettabile (trattandosi di euro devono essere positivi e avere al più due cifre dopo la virgola) è la seconda soluzione, ovvero x = 9, y = 6 e z = 1, che dà p = 1,25 euro e q = 3,75 euro.

Al link seguente si trovano diverse altre strategie di soluzione.

https://math.stackexchange.com/questions/1084092/

I Giochi del Lunedì di Prisma tornano tra due settimane.