104. Soluzioni del 28 agosto 2023 – Serie numeriche

Le soluzioni del 28 agosto 2023 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato tre giochi matematici sulle serie numeriche e di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione.

Serie numeriche – soluzioni 

1. Un mosaicista sta realizzando una pavimentazione con una serie di triangoli equilateri tutti uguali tra loro. All’inizio aveva incollato un solo triangolo sul pavimento (tappa 0). In seguito, per ciascun vertice libero della figura della tappa precedente incolla un nuovo triangolo con lo stesso orientamento per il quale il punto medio di un lato coincide con il vertice libero, come illustrato in figura. Quanti triangoli avrà incollato sul pavimento dopo la ventiduesima tappa?

1. SOLUZIONE. Alla tappa zero abbiamo un triangolo. Alla tappa uno ne abbiamo 4 = 1 + 3. Alla tappa due ne abbiamo 10 = 1 + 3(1 + 2). Alla tappa tre ne abbiamo 19 = 1 + 3(1 + 2 + 3) e via di seguito. Alla ventiduesima tappa avremo 1 + 3(1 + 2 + 3 + …+ 22) = 1 + 759 = 760. Tra parentesi c’è la sommatoria dei numeri naturali da uno a n che si può scrivere [n(n + 1)]/2.

2. Con alcuni muri modulari vengono realizzate le seguenti strutture illustrate in figura: con 5 muri si costruisce un piano, con 11 muri si costruiscono due piani, con 19 muri si costruiscono 3 piani e via di seguito. Quanti piani si costruiranno con 40.601 muri?

2. SOLUZIONE. La sequenza si può sintetizzare con l’equazione: 1 + [2n(1 + n)/2] + 2n = 40.601 dove n è il numero dei piani.

Svolgendo i calcoli: 1 + [(2n + 2n²) / 2] + 2n = 40.601 che diviene: n² + 3n – 40.600 = 0. I risultati dell’equazione di secondo grado sono 200 e – 203 (non accettabile) quindi con 40.601 muri si costruiranno 200 piani. Per individuare la progressione può essere d’aiuto la seguente tabella:

3. Il Modulo 1 è composto da 3 quadratini, il Modulo 2 è composto da 10 quadratini e il Modulo 3 è composto da 21 quadratini, disposti come in figura.

1. Sapreste disegnare il Modulo 4?
2. Quanti quadratini comporranno il Modulo 9?
3. Con 1.235 quadratini qual è il Modulo più grande che possiamo costruire?

3. SOLUZIONI

1. Il Modulo 4 si compone di 36 quadratini, disposti come in figura seguente. Dal modulo precedente si aggiunge una riga orizzontale in alto e poi due colonne verticali a destra.

Più in generale, indicando con M il numero del Modulo e con n il numero dei quadratini, la relazione è n = M(2M + 1)  quindi con M = 1 avremo n = 3; con M = 2 avremo n = 10; con M = 3 avremo n = 21; con M = 4 avremo n = 36 e via di seguito. 

2. Ora andando a sostituire, troviamo che al Modulo 9 corrispondono 171 quadratini.

3. Dalla formula precedente ricaviamo la formula inversa: n = 2M² + M. Si tratta di un’equazione di secondo grado: 2M² + M – n = 0

Andando a sostituire 2M² + M – 1.235 = 0. Svolgendo troviamo la soluzione accettabile 24,6. Quindi con 1.235 quadratini possiamo costruire il Modulo 24 con un buon avanzo di quadratini.

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.