100. Soluzioni del 3 luglio 2023 – Cento

Soluzioni del 3 luglio 2023 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato due giochi dedicati al numero della nostra puntata, 100 e di seguito pubblichiamo le nostre soluzioni. 

Cento – soluzioni 

1. Ottenere 100. Un antico problema di aritmetica classica chiede di usare le cifre da 1 a 9, nell’ordine, inserendo tra esse solo segni più e meno in modo da ottenere un totale di 100. Riuscite a trovare una soluzione nella sequenza inserendo solo segni più e meno?

Le cifre consecutive vanno considerate come un numero di più cifre. Ad esempio le cifre 6 e 7 possono essere considerate 67, le cifre 1, 2 e 3 possono essere considerate 123 e via di seguito.

1. SOLUZIONE.

• 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100.
• 12 + 3 – 4  + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.
• 123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100.

Questo problema ha un gran numero di varianti, molte delle quali prevedono l’uso di operazioni diverse dall’addizione e dalla sottrazione. 

2. Arrivare a cento. Si gioca con 2 giocatori. Il primo giocatore scrive un numero da 1 a 10 su un foglio e lo passa al secondo giocatore, che pensa un numero da 1 a 10 e scrive la somma col numero scritto dal primo giocatore. ll gioco continua e ciascun giocatore, a turno, somma all’ultimo risultato un numero da 1 a 10. Vince il giocatore che, avendo fatto la somma, scrive un numero di tre cifre, 100 o superiore.

• 2.1. Esiste una strategia vincente per uno dei due giocatori? E come bisogna giocare per vincere?
• 2.2. Cosa succede se, cambiando le regole, viene stabilito che perde chi ottiene il risultato 100 o superiore?
• 2.3. E se cambiasse il numero da raggiungere chi sarebbe il giocatore avvantaggiato, nei due casi: a) vince chi arriva a quel numero; b) perde chi arriva a quel numero?

2. SOLUZIONI.

2.1. Vincerà chi riuscirà a scrivere 89 perché l’altro giocatore, scrivendo un numero compreso tra 1 e 10, potrà arrivare al massimo a 99 o al minimo a 90 e ciò permetterà al vincitore di scrivere 100 o un numero superiore.  Ora, procedendo a ritroso, il vincitore sarà chi scriverà 78, 67, 56, 45, 34, 23, 12, 1. Quindi il primo giocatore, scrivendo 1 nella sua prima giocata, vincerà poiché nella sua seconda giocata potrà scrivere 12 e nella sua terza giocata 23 e via di seguito fino a 89, quindi esiste una strategia vincente per il primo giocatore.

2.2. In questo caso, in cui perde chi scrive 100 o un numero superiore, vincerà chi riesce a scrivere 99 e ancora prima 88, 77, 66, 55, 44, 33, 22, 11. La strategia vincente è scrivere 11 e poi i successivi multipli. Dato che il primo giocatore non potrà arrivare a 11, nella sua prima giocata, mentre il secondo sì, esiste una strategia vincente per il secondo giocatore.

2.3. Se cambiassimo il numero da raggiungere vincerà uno dei due giocatori in base a questa formulazione generale. Definiamo m il numero da raggiungere, n il numero da 1 a 10.

a) Nell’ipotesi che vinca chi scrive m o un numero superiore.

Si divide m per n + 1 e si determina il resto della divisione che sarà un numero tra zero ed n.  Si presentano due casi:

i. Il resto è zero. In questo caso vi è una strategia vincente per il secondo giocatore, che dovrà scrivere un multiplo di n + 1 sul foglio. Supponiamo che il numero da raggiungere sia 88, allora 88/11= 8 con resto zero. Ora il primo giocatore scrive un qualsiasi numero da 1 a 10, ad esempio 7, per cui il secondo giocatore dovrà pensare 4 per scrivere 11 e via di seguito fino a arrivare a 77 e poi vincere.

ii. Il resto r è diverso da zero. In questo caso vi è una strategia vincente per il primo giocatore che nella prima giocata scriverà r e procederà ottenendo un multiplo n + 1. Ad esempio se il numero da raggiungere è 150, 150/11= 13 con resto 7, il primo giocatore scriverà 7 poi sommerà 11 per scrivere 18, 29, 40, 51, 62 ecc. fino a 139 per poi vincere.

b) Nell’ipotesi che perda chi scrive m o un numero superiore, basta tener presente che per vincere è necessario scrivere il numero (m – 1) così l’avversario sarà costretto a scrivere un numero uguale o superiore a m, perciò la formula generale va modificata con m e che diventa (m – 1). Ad esempio con m = 56, allora (56 – 1) /11 = 55 con resto zero, iI secondo giocatore vince scrivendo 11, 22, 33, 44, 55. Ad esempio con m = 75 allora (75 – 1) / 11= 6 con resto 8, allora il primo giocatore vince scrivendo 8, poi 19, 30, 41, 52, 63, 74.

3. Gettoni da ritirare. Per chi volesse approfondire un esercizio simile ai precedenti con i gettoni da ritirare da un tavolo, anziché i numeri da scrivere sul foglio. Ci sono 2.010 gettoni e due giocatori. Si possono ritirare, a turno, da 1 a 49 gettoni.

3.1. Nell’ipotesi che vinca chi ritira l’ultimo gettone, quale giocatore ha una strategia vincente?

3.2. Nell’ipotesi che perda chi ritira l’ultimo gettone, quale giocatore ha una strategia vincente

3. SOLUZIONE.

3.1. Il primo giocatore ha una strategia vincente. Egli dovrà ritirare inizialmente 10 gettoni poi lasciare all’avversario un multiplo di 50. Infatti 2010 /50 = 40 con resto 10

3.2. Il primo giocatore ha una strategia vincente. Egli dovrà ritirare inizialmente 9 gettoni poi lasciare all’avversario un numero multiplo di 50 più 1.

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.