144. Soluzioni del 10 marzo 2025 – Duelli, trielli e geopolitica

Soluzioni del 10 marzo 2025 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato due problemi di Teoria dei Giochi ispirati a modelli decisionali che vengono utilizzati anche dagli studiosi di geopolitica. Di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione. 

Duelli, trielli e geopolitica – soluzioni 

1. Tris trasgressivo. Nel normale gioco del tris, vedi immagine a fianco, ogni giocatore dispone le proprie pedine X oppure O per allineare tre X o tre O. Il gioco normale diventa noioso perché è noto che due giocatori competenti pareggeranno sempre. Con la versione modificata, che proponiamo di seguito, ad ogni turno un giocatore può scegliere una X o una O o viceversa e perciò l’esito può oscillare in entrambe le direzioni. Vince il primo giocatore che ottiene una linea di tre O o di tre X. Con il tris trasgressivo il  giocatore che inizia per primo può sempre vincere. Siete in grado di dimostrarlo?

Consigliamo di giocare un paio di volte per prendere confidenza con le regole. Ecco un esempio di gioco tra il Giocatore Donaldo rosso e un il Giocatore Ursula blu.

Primo turno. Donaldo piazza una X in alto a sx. Anche Ursula decide di piazzare una X, ma ha solo due posti sicuri (in centro a dx o in basso a dx) supponiamo scelga il centro a dx.

Terzo turno. Anche Donaldo è costretto a posizionare una O e può scegliere tra tre spazi sicuri (in alto centrale, a sx centrale e a dx in basso) supponiamo scelga la casella a sx centrale. Ursula deve, ancora una volta, posizionare una O in uno dei restanti due posti sicuri (in alto centrale e a dx in basso) supponiamo scelga la casella in alto e centrale.

Quarto turno. Donaldo non può piazzare una X sicura, quindi deve piazzare una O in basso a dx. Ursula ora non ha O sicure e posiziona una X, a sx in basso, per forzare la patta.

In questo esempio il gioco finisce in parità.  

1. SOLUZIONE. Donaldo (rosso) inizia per primo al centro, diciamo con una X. Ciò costringe Ursula (blu) a posizionare una O, poiché una X posizionata ovunque permetterebbe a Donaldo di vincere. In questo modo si aprono due scenari possibili.

Scenario 1. Usula piazza una O nell’angolo, come disegnato in figura seguente. Per la seconda mossa, Donaldo piazza una O nell’angolo opposto. A questo punto Usula non può posizionare una O o una X da nessuna parte per evitare il tris di Donaldo. Donaldo vince.

Scenario 2. Ursula posiziona una O sul lato come in figura seguente. Nella seconda mossa, Donando posiziona una O sul lato opposto. Ora Ursula è costretta a giocare una O nella colonna centrale in alto o in basso, supponiamo scelga l’alto. A questo punto, Donaldo posiziona una O nella colonna centrale libera. Di seguito, Ursula è costretta a scegliere un angolo e qualsiasi angolo scelto, con X oppure con O, porterà al tris di Donaldo. Donaldo vince.

2. Triello. Donaldo, Felice e Vladimiro si sfidano e decidono di estrarre a sorte i loro nomi per definire in quale ordine sparare. Ciascun partecipante dovrà, secondo l’ordine stabilito, sparare un colpo ad uno degli altri due finché ne rimanga uno solo in vita. Non è ammesso sparare “in aria”. Donaldo non sbaglia mai il bersaglio, Vladimiro ha una probabilità di centrare il bersaglio del 50% ed infine Felice ha una probabilità dell’80% di colpire il bersaglio. Chi dei tre ha maggiori probabilità di sopravvivere?

[Esistono diverse tipologie di triello, in questo caso i turni sono definiti per sorteggio e non è possibile sparare in alto per passare il turno al prossimo giocatore.]  

2. SOLUZIONE. In questo modello i turni sono stabiliti casualmente per estrazione e non è prevista la possibilità di sparare in aria o di saltare il proprio turno. Gli esiti dei sei casi possibili sono riportati nelle tabella seguente.

Ogni partecipante, giunto al suo turno, sparerà a quello che ha maggiore probabilità di centrare il bersaglio. Ad esempio quando toccherà a Vladimiro questi cercherà di colpire Donaldo, perché c’è una probabilità del 20% che Felice, giunto al suo turno, manchi il bersaglio, contro nessun errore da parte di Donaldo. 

1. Nel primo caso con sequenza Donaldo, Felice e Vladimiro (D,F,V). Donaldo spara a Felice uccidendolo, poi tocca a Vladimiro che spara a Donaldo col 50% di probabilità di ucciderlo. A questo punto Donaldo, se è ancora vivo, spara a Vladimiro uccidendolo. Riassumiamo con un schema.

La probabilità di morire di Felice equivale a 1, quindi la probabilità di sopravvivere è nulla. La probabilità di morire di Donaldo è 0,5 e di sopravvivere è 0,5. La probabilità di morire di Vladimiro è 0,5 e di sopravvivere è 0,5.

2. Nel secondo caso, con sequenza Donaldo, Vladimiro e Felice (D,V,F) le probabilità sono le stesse del primo caso.

3. Nel terzo caso, con sequenza Felice, Donaldo e Vladimiro (F,D,V) possiamo costruire il seguente schema.

La probabilità di morire di Donaldo equivale a: 4/5 + (1/5 • ½) = 9/10 quindi probabilità di sopravvivere è: 1 – 9/10 = 1/10. La probabilità di morire di Felice equivale a 1/5 + (4/5 • ½) + (4/5 • ½ • 1/5 • ½) + (…) = 1/5 + 4/10 + 4/100 + (…) = 64/100 che considerando le ripetizioni diviene 0,64444 quindi la probabilità di sopravvivere è 1 – 0,6444 = 0,35556 o anche 16/45. La probabilità di morire di Vladimiro equivale a (1/5 • ½) + (4/5 • ½ • 4/5) + (4/5 • ½ • 1/5 • ½ • 4/5) + (…) = 1/10 + 16/50 + 16/500 + (…) = 226/500 che considerando le ripetizioni diviene 0,54444 quindi la probabilità di sopravvivere è 1 – 0,54444 = 0,45555 o anche 49/90.

Lasciamo al lettore lo sviluppo dei calcoli degli altri tre casi e riportiamo nella tabella seguente la probabilità di sopravvivenza di ciascuno dei tre partecipanti a seconda dell’estrazione iniziale.

Nell’ultima riga sono state calcolate le medie aritmetiche dei sei casi possibili per ciascun partecipante. Le probabilità di sopravvivenza sono: Donaldo = 24,16%; Felice 31,11% e Vladimiro 44,72%. Incredibilmente Vladimiro, che ha la peggior mira dei tre, è quello con la maggiore probabilità di sopravvivere e Donaldo, con la migliore mira, ha la maggior probabilità di morire.

I Giochi del Lunedì di Prisma tornano tra due settimane.