Il problema dei tre corpi… esiste davvero!

Che le dinamiche di coppia siano complesse ma possano essere stabili è noto, ma quando subentra una terza persona le cose si fanno caotiche. Con questo paragone sentimentale potremmo rapidamente spiegare il cosiddetto Problema dei tre corpi che dà il titolo all’omonima serie Netflix, disponibile dal 21 marzo, tratta dal primo libro della trilogia Memoria del passato della Terra dell’autore cinese Liu Cixin.

La trama si svolge tra passato, presente e futuro e i protagonisti sono alcuni fisici che entrano in contatto con una civiltà aliena che vive in un sistema solare diverso dal nostro, su un pianeta dove si susseguono “ere dell’ordine” con stagioni regolari e di prosperità ed “ere del caos”, segnate da desertificazione e glaciazioni che distruggono la vita del pianeta. Il motivo di questa instabilità sta proprio nel titolo della serie: il sistema solare del pianeta è caratterizzato dalla presenza di due Soli che, a seconda della loro posizione e influenza sul pianeta, lo rendono accessibile o impossibile alla vita.

Al di là delle questioni di fantascienza, il problema dei tre corpi è un vecchio enigma della matematica e della fisica, il cui enunciato può essere così formulato: quali sono le traiettorie di tre corpi celesti, reciprocamente attratti dalla gravità, se sono note le loro posizioni e velocità attuali?

A porre le basi di questo mistero è stato Isaac Newton che nel 1687, con la pubblicazione dei suoi Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ha introdotto e formalizzato la forza di gravità e risolto il problema dei due corpi.

Dalle leggi di Keplero (1571-1630) sappiamo che l’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei due fuochi, ma Newton, con la sua legge di gravitazione universale, ha affermato che la forza di attrazione tra i due corpi celesti sottoposti a gravità è definita dall’equazione:

ovvero che la forza è direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei due corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza secondo una costante di proporzionalità G (=6,67×10^-11 N×m²/kg²) detta di gravitazione universale. In pratica, più i corpi sono lontani fra loro, più la loro forza di attrazione si indebolisce (e anche qui il paragone sentimentale continua a essere valido).

Da un punto di vista matematico quella qui sopra è una equazione differenziale, ovvero un’equazione in cui sono coinvolte le derivate di una funzione: la forza F è definita, infatti, come massa per accelerazione e quest’ultima non è altro che la derivata seconda della funzione spazio. Una volta risolta, l’equazione ci restituisce la traiettoria che nel caso del Sole e un pianeta del nostro sistema è proprio quella prevista da Keplero.

Ma cosa succede se aggiungiamo un terzo corpo celeste? Questa è la domanda che Newton si pose dando vita all’enigma che oggi ci tiene incollati ai televisori.

Finché ci si limita a due corpi si può tenere uno dei due fisso (ad esempio il Sole nel nostro caso) ma quando si aumenta di uno, conviene scegliere un punto fisso nel nostro sistema di riferimento – proprio come facciamo quando fissiamo l’origine degli assi cartesiani sui nostri quaderni – e scrivere un sistema di tre equazioni (differenziali) che descrive le forze di interazione di due corpi sul terzo:

Già Newton si era reso conto di quanto il problema fosse diventato più complicato non riuscendo a trovare una soluzione che descrivesse le traiettorie. Nel corso del tempo, il desiderio di trovare una soluzione al problema dei tre corpi ha stimolato numerose ricerche e tra la metà del XVIII secolo e l’inizio del XX gli furono dedicati più di 800 articoli, saggi e memorie a firma dei più altisonanti nomi della matematica.

Joseph-Louis Lagrange, nel Settecento, riuscì a calcolare i punti nello spazio nei quali due corpi con massa molto grande permettono a un terzo corpo con una massa molto inferiore di mantenere una posizione stabile relativamente agli altri due. Questi punti, detti “punti di Lagrange”, sono essenziali per collocare sonde nello spazio a grande distanza dalla Terra.

A fine Ottocento, Henri Poincaré dimostrò che una soluzione al nostro problema non esiste affatto: il moto dei tre corpi è imprevedibile perché il risultato è tremendamente sensibile alle condizioni iniziali, ovvero i valori di masse e distanze. Nasceva così la cosiddetta teoria del caos deterministico secondo cui piccole variazioni nei dati iniziali generano enormi variazioni nella determinazione delle soluzioni (proprio come un piccolo errore di segno in una espressione porta a un risultato completamente diverso da quello previsto).

In tempi più recenti, con la potente forza di calcolo dei moderni computer si è riusciti a trovare, con forza bruta, le traiettorie a partire dai dati iniziali ma, a conferma di quanto dimostrato da Poincaré, nel 2009, un gruppo di ricerca effettuò una simulazione volta a prevedere cosa sarebbe potuto accadere a ogni pianeta del nostro sistema solare nei prossimi 5 miliardi di anni. Oltre duemila simulazioni partendo sempre dalle stesse identiche condizioni iniziali tranne una: la distanza tra il Sole e Mercurio. In ogni calcolo, la distanza (in media di 58 milioni di chilometri) veniva modificata di pochi millimetri. Il risultato è stato che nell’1% dei risultati, la traiettoria di Mercurio nel tempo cambiava a tal punto da generare o una collisione con il Sole o con il vicino pianeta Venere.

Insomma, forse il numero perfetto è 2!