111. Soluzioni del 4 dicembre 2023 – I Grattacapi di New Scientist

Soluzioni del 4 dicembre 2023 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo presentato tre problemi tratti dal libro Headscratchers di Rob Eastaway e Brian Hobbs. Il libro, in uscita nei prossimi mesi, raccoglie i migliori enigmi e giochi matematici presentati sulla rivista inglese New Scientist. E’ una fantastica e variegata raccolta di problemi creata da alcuni dei migliori enigmisti in circolazione .

I Grattacapi di new Scientist

1. I numeri da 1 a 9 sono stati scritti su cartoncini e lasciati su un tavolo: la colonna di sinistra somma 21 e quella di destra somma 24, come proposto in figura.

Viene chiesto di spostare solo una carta in modo che la somma delle due colonne dia lo stesso totale.

1. SOLUZIONE. La somma dei numeri da 1 a 9 dà 45, che non è divisibile per due, quindi non è possibile ottenere la stessa somma nelle due colonne e perciò è necessario un po’ di pensiero laterale. La prima soluzione che viene in mente è capovolgere il 9 per ottenere 6, così la somma di entrambe le colonne sarà 21. Eppure ce ne sono molte altre, ad esempio posizionare 1 sopra 5, così la somma di entrambe le colonne sarà 20. E ancora posizionare il 3 sul 9, ottenendo 18, o il 5 sul 7 ottenendo 19. Un’altra soluzione potrebbe essere rovesciare la carta con il 5 e metterla sulla carta con il 2 per ottenere 19; oppure 4 su 1 (20); 6 su 3 (18) e via di seguito. Possiamo considerarle soluzioni creative giuste o soluzioni che imbrogliano? La risposta è del tutto soggettiva. Questo problema offre un ottimo spunto per ragionare: la maggior parte dei partecipanti considera giusta la soluzione di capovolgere il 9 mentre le altre proposte ottengono reazioni miste. Quando le istruzioni dicono che puoi “spostare solo una carta”, generalmente si intende “spostare sull’altra colonna”  come se esistessero regole non scritte che costringono la mente in un “box”. In genere, quanto più una soluzione rompe il contratto silenzioso tra setting e solutore, tanto più viene considerata un imbroglio. Questo enigma ha provocato diverse reazioni nei lettori, evidenziando quanto sia labile il confine tra creatività, genialità e imbroglio!

2.  Quale numero è più grande? Il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a 10 (1 x 2 x 3 x…x 9 x 10, che di solito si scrive 10!) o il numero di secondi in sei settimane? [Non è consentito l’utilizzo della calcolatrice].

2. SOLUZIONE. I numeri sono gli stessi. Il numero di secondi in sei settimane è 6 x 7 x 24 x 60 x 60.  Scomponendo e ricomponendo: 6 x 7 x (3 x 8) x (5 x 4 x 3) x (5 x 4 x 3) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

È davvero strano e anche molto bello che sei settimane di secondi siano 10! È uno di quegli allineamenti fortuiti basati sulle nostre misurazioni del tempo piuttosto arbitrarie. Eccone un altro paio:il numero di minuti nel mese di febbraio è 8! Il numero di millisecondi in un giorno è pari a 55 x 44 x 33 x 22 x 11.

3. La strada a corsia unica intorno al lago è meravigliosa. Quattro coppie che soggiornano all’Hotel Hilbert stanno programmando una gita di un giorno al villaggio Palafitte, all’altra estremità del lago. L’autista di ogni coppia guida abitualmente a una velocità diversa. Il signor Presto è il più veloce, la signora Vivace è la seconda in velocità, il signor Andante ha una guida tranquilla, mentre i coniugi Lento sono i più lenti. In questa strada, se un’auto si trova dietro a un’auto più lenta, non può far altro che seguirla formando un “gruppo” (un gruppo può essere formato da un numero qualsiasi di auto, da una in su). La domenica mattina tutte e quattro le coppie partono e sono le uniche quattro auto sulla strada. Quando arrivano a Palafitte hanno formato due “gruppi”. Più tardi, le quattro coppie tornano indietro in ordine inverso e arrivano all’hotel in tre “gruppi”. Il signor Presto sembra particolarmente stressato perché non ha avuto l’opportunità di liberare la sua velocità nel viaggio di ritorno. In quale ordine sono partiti la mattina?

3. SOLUZIONE. Le vetture hanno lasciato l’hotel nell’ordine: Presto, Lento, Andante e Vivace. Definiamo le quattro vetture da 1 a 4 in ordine decrescente di velocità. Osserviamo l’auto 4, la Lento, che non può partire per prima o per ultima, perché ciò porterebbe a un unico gruppo di quattro auto all’andata o al ritorno. I Lento non possono partire nemmeno terzi, perché ciò porterebbe a due gruppi al ritorno, quindi i Lento devono partire secondi. L’auto 1 dei Presto non può partire per ultima perché avrebbe pista libera al ritorno, cosa che ci viene negata dal testo del problema, quindi la 1 deve essere al primo o al terzo posto all’andata. A questo punto rimangono quattro possibili ordinamenti nel viaggio di andata: 1432, 1423, 2413 e 3412. Tra questi, solo 1432 comporterebbe due gruppi all’andata e tre al ritorno, perciò le macchine lasciano l’albergo nell’ordine: Presto, Lento, Andante, Vivace.

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.