93. Soluzioni del 15 maggio 2023 – Educazione finanziaria

Soluzioni del 15 maggio 2023 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo proposto cinque problemi di economia e matematica finanziaria e di seguito pubblichiamo le nostre proposte di soluzione. 

Nota esplicativa. L’interesse è il compenso che spetta a chi presta un capitale, per un determinato tempo a un certo tasso di interesse. Se il prestito ha durata inferiore all’anno, generalmente si utilizza il calcolo dell’interesse semplice, mentre se la durata supera l’anno si utilizza l’interesse composto. Con il metodo semplice, l’interesse maturato a fine anno o periodo non entra a far parte del capitale. Con il metodo composto, l’interesse maturato a fine periodo entra a far parte del capitale e matura a sua volta interesse nei periodi a seguire e così via.

Formulario. Indicando con C il capitale investito inizialmente, con M il montante ottenuto a fine investimento, con i il tasso di interesse e con t il tempo espresso in anni: la formula per il calcolo del montante con l’interesse semplice è:  M = C (1 + it); la formula per il calcolo del montante con l’interesse composto è:  M = C (1 + i)^t.

Educazione finanziaria

1. Un capitale di 10.000 euro viene investito per 6 anni a un tasso di interesse del 4% annuo. Quanto vale il montante finale calcolato con il metodo dell’interesse semplice? E quanto vale con il metodo dell’interesse composto?

1. SOLUZIONE. Con il metodo semplice si usa la formula: M = C (1 + it) = 10.000 (1 + 0,04 • 6) = 12.400.

Con il metodo della capitalizzazione composta si utilizza la formula: M = C (1 + i)^t = 10.000 • 1,04⁶ = 12.653,19.

La differenza tra i due metodi di calcolo è di 153,19 euro e, pensando a grandi volumi e a una molteplicità di operazioni, non è poco.

2. Quale tasso di interesse annuo composto raddoppia un capitale in 10 anni?

2. SOLUZIONE. In regime di interesse semplice, la risposta è abbastanza intuitiva, ossia un tasso del 10% in 10 anni raddoppia il capitale. Con la capitalizzazione composta si usa la formula inversa per calcolare i. Partiamo da M = C (1 + i)^t che sostituendo diviene 2 =(1 + i)^t svolgendo (1 + i) = ¹⁰√ 2  poi  i = (¹⁰√ 2) – 1 e ancora i =  2^1/10 – 1 = 0,0718.  quindi con un tasso del 7,18% un capitale raddoppia in 10 anni. Piccola considerazione storica: anche Luca Pacioli aveva scritto nel XVI secolo questa regola [Un capitale qualsiasi si raddoppia in un numero di anni pari a 72 diviso il tasso di interesse].

3. Dario ha investito un capitale di 15.000 euro in un PIR (Piano Individuale di Risparmio) e dopo 5 anni ritira il montante di 18.000 euro. Sul portale della sua home banking viene riportato un rendimento percentuale + 20% che corrisponde a un rendimento annuale del 4% con il metodo dell’interesse semplice. Quale sarebbe il tasso di rendimento calcolato con il metodo composto?

3. SOLUZIONE. Calcoliamo il tasso in regime di capitalizzazione composta con la formula: i = (M/C)^1/t – 1 che nel nostro caso diventa (18.000/15.000)^1/5 = 0,0371 quindi il rendimento annuale composto è del 3,71% mentre la banca indica il 4%, con uno scarto dello 0,29%.

4. Quanti anni occorrono per ottenere un montante di 48.000 euro investendo un capitale di 40.000 euro al tasso del 4% annuo composto?

4. SOLUZIONE. Utilizziamo la formula inversa, che fa uso dei logaritmi, con incognita il tempo in anni. A partire da M = C (1 + i)^t svolgendo  M/C = (1 + i)^t   poi t = [ln (M/C)] / [ln (1 + i)] che diviene (ln 1,2 / ln 1,04) = 4,65. Occorrono 4 anni e 8 mesi circa.

5. I tassi di interesse TAN, TAE e TAEG. Una società finanziaria offre il finanziamento di 1.500 euro da restituire in 24 rate mensili di 70,00 euro ciascuna. In tabella è riportata una sintesi dell’offerta.

Nell’importo della rata sono comprese spese accessorie per 52 euro.

Calcolare il TAN (tasso annuo nominale) il TAE (tasso annuo effettivo) e il TAEG (tasso annuo effettivo globale)?

Nota esplicativa. Il TAN (tasso annuo nominale) è il tasso di interesse nominale sul credito concesso al cliente. Quando si effettua un calcolo del TAN non viene incluso il costo delle spese accessorie.

Il TAE (tasso annuo effettivo) tiene conto dell’interesse composto ed è superiore al TAN.

Il TAEG (tasso annuo effettivo globale) esprime l’effettivo costo del finanziamento a carico del cliente, comprende le spese accessorie e per questo deve essere inserito, oltre che nei contratti, anche negli annunci pubblicitari e negli avvisi al pubblico.

5. SOLUZIONE. 

Calcolo del TAN. Il tasso nominale mensile viene calcolato partendo dal montante senza tenere conto delle spese accessorie.

M = 70,00 • 24 – 52 = 1.628 (montante senza spese accessorie)

C = 1.500€ (capitale iniziale)

Applichiamo la formula M = C (1 + i/12)²⁴ dove i è il tasso di interesse mensile. Ora svolgendo:

(1 + i/12)²⁴ = M/C

(1 + i/12) = ²⁴√ (M/C)

i/12 = ²⁴√ (M/C) – 1.

Sostituendo i/12 = ²⁴√ (1.628/1.500) – 1 = 0,0034177 (tasso mensile).

Infine, occorre moltiplicare il tasso mensile per 12 mesi, quindi 0,0034177 • 12 = 0,041 ossia 4,1%. (TAN)

Calcolo del TAE.  Il TAE viene calcolato in regime di capitalizzazione composta:

TAE = (1 + tasso mensile)¹² – 1 = (1 + 0,0034177)¹² – 1 = 0,04178 ossia 4,18%.

Calcolo del TAEG. Calcoliamo il montante
M = 70 • 24 = 1.680 euro (montante comprensivo di spese accessorie)

Per il calcolo del TAEG applichiamo la stessa procedura vista sopra, ma con il montante di 1.680 euro.  Avremo: i/12 = ²⁴√ (1.680/1.500) – 1 = 0,004733 (tasso mensile con spese accessorie).

TAEG = (1 + tasso mensile)¹² – 1 = (1 + 0,004733)¹² – 1 = 0,0583 ossia 5,83%.

Nell’importo della rata sono comprese spese accessorie per 52 euro.

La differenza tra TAN e TAE è minima ed è dovuta alla diversa modalità di calcolo. La differenza tra TAN e TAEG, in presenza di spese accessorie di 52 euro, è rilevante infatti si passa da un TAN del 4,1% ad un TAEG del 5,83 %.

Il costo complessivo del finanziamento per il cliente è quindi espresso dal TAEG.

A lunedì prossimo.