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Le soluzioni del 17 ottobre 2022 a cura di Fabio Ciuffoli
Ieri abbiamo presentato due giochi proposti da Tadao Kitazawa, prolifico autore giapponese di enigmi matematici e logici. Di seguito pubblichiamo le soluzioni.
Pastiglie di iodio e hotel per animali domestici – soluzioni
1. C’è stata una fuga radioattiva in una centrale nucleare europea. Gli operatori devono assumere la massima quantità possibile di iodio per evitare ulteriori danni alla salute. Le pastiglie di iodio sono tossiche, ed è necessario non raggiungere la dose letale di 180 unità di tossine. Ci sono tre tipi di pastiglie: bianche, verdi e celesti. Ogni pastiglia ha la stessa dose di iodio, ma un diverso numero di tossine: 20, 18 e 9, inoltre si sono perse le informazioni che abbinano il colore delle pastiglie al numero di tossine. Supponendo che non si possano spezzare le pastiglie, qual è il numero massimo che può essere assunto per evitare la dose letale?
1. SOLUZIONE. Prendendo una pastiglia di ogni colore si assumono 47 tossine (20 + 18 + 19) quindi se ne possono prendere 3 per ciascun colore e si assumeranno 141 tossine (47 x 3). C’è ancora la possibilità di assumere 38 tossine. A questo punto con due pastiglie di colore diverso, si è sicuri di non superare quel valore. In definitiva, si possono prendere in totale 11 pastiglie, 3 di un colore e 4 di ciascun colore degli altri due.
2. Nell’hotel per animali domestici le camere sono numerate in ordine da 1 a 5. Ogni camera può ospitare un animale e ha la propria lampada. Di notte, un animale nervoso lascia la lampada accesa. Un animale che non è nervoso spegne la lampada. Ognuna delle stanze da 1 a 5 è sempre occupata da un cane o da un gatto e tutti escono dopo una notte.
Caso a) Il sabato sera un cane è nervoso se e solo se ci sono gatti in entrambe le stanze adiacenti. Un gatto è nervoso se e solo se c’è un cane in almeno una stanza adiacente. Si osserva che quattro stanze restano illuminate. Quanti gatti ci sono nell’hotel?
Caso b) La domenica sera un cane è nervoso se e solo se ci sono altri cani in entrambe le stanze adiacenti. Un gatto è nervoso se e solo se c’è un altro gatto in almeno una stanza adiacente. Si osserva che solo una stanza rimane illuminata. Quanti gatti ci sono nell’hotel?
2. SOLUZIONI.
Caso a) Formuliamo cinque diverse ipotesi.
Ipotesi 1: solo la stanza 3 è buia.
1. A. Supponiamo che ci sia un gatto nella 3 e quindi le stanze 2 e 4 dovrebbero avere entrambe gatti. Questi due gatti sarebbero nervosi, allora nella 1 e nella 5 ci dovrebbero essere cani, ma nessuno di questi cani è nervoso e perciò la 1 e la 5 dovrebbero essere buie, in contraddizione con la premessa.
1. B. Ora supponiamo che nella stanza 3 ci sia un cane, allora almeno uno nella 2 e nella 4 dovrebbe essere un cane. Questo cane non può essere nervoso, quindi spegnerebbe la lampada, portando alla contraddizione.Riportiamo in tabella i risultati indicando con C il cane, G il gatto, tra parentesi il numero della sequenza logica deduttiva e in rosso la contraddizione logica. 
Ipotesi 2: solo la stanza 2 è buia.
2. A. Supponiamo che ci sia un gatto nella 2 e perciò nella 1 e nella 3 ci dovrebbero essere gatti, ma il gatto nella 1 non dovrebbe essere nervoso e ciò porta alla contraddizione.
Ipotesi 3: solo la stanza 4 è buia.
3. A. Supponiamo che ci sia un gatto nella 4 e perciò nella 3 e nella 5 ci dovrebbero essere gatti, ma il gatto nella 5 non dovrebbe essere nervoso e ciò porta alla contraddizione.
3. B. Supponiamo che ci sia un cane nella 4, quindi nella 3 o nella 5 ci dovrebbe essere un cane e questo cane non dovrebbe essere nervoso, quindi con lampada spenta, ma ciò porta alla contraddizione.
Ipotesi 4: solo la stanza 1 è buia.
4. A. Supponiamo che nella stanza 1 ci sia un gatto, allora nella 2 ci dovrebbe essere un gatto, nella 3 un cane e nella 4 un gatto. La stanza 5 potrebbe avere un gatto o un cane, ma in entrambi i casi non dovrebbe essere nervoso, quindi spegnerebbe la lampada e perciò è in contraddizione.
4. B. Supponiamo che nella 1 ci sia un cane e se nella 2 ci fosse un cane non dovrebbe essere nervoso quindi spegnerebbe la lampada e questa è una contraddizione. Ora procediamo ipotizzando che nella 2 ci sia un gatto e se nella 3 ci fosse un cane, allora nella 4 ci dovrebbe essere un gatto, perciò qualunque animale ci sarà nella 5 spegnerà la lampada generando una contraddizione, quindi nella 3 ci deve essere un gatto nella 4 un cane e infine nella 5 un gatto. E questa è la soluzione corretta: ci sono tre gatti.
Ipotesi 5: solo la stanza 5 è buia.
5. A. Supponiamo che nella stanza 5 ci sia un gatto, allora nella 4 ci dovrebbe essere un gatto, nella 3 un cane e nella 2 un gatto. La stanza 1 potrebbe avere un gatto o un cane, ma in entrambi i casi non dovrebbe essere nervoso, quindi spegnerebbe la lampada e perciò è in contraddizione.
5. B. Supponiamo che nella 5 ci sia un cane e se nella 4 ci fosse un cane non dovrebbe essere nervoso quindi spegnerebbe la lampada e questa è una contraddizione. Ora procediamo ipotizzando che nella 4 ci sia un gatto e se nella 3 ci fosse un cane, allora nella 2 ci dovrebbe essere un gatto, perciò qualunque animale ci sarà nella 1, spegnerà la lampada generando una contraddizione, quindi nella 3 ci deve essere un gatto nella 2 un cane e infine nella 1 un gatto. E questa è la soluzione corretta: ci sono tre gatti.
Caso b) Usando un processo simile a quello sopra, troveremo due soluzioni possibili: un gatto e due gatti.
Soluzione un gatto, quando la stanza 2 è illuminata con la disposizione cane/cane/cane/gatto/cane oppure quando la stanza 4 è illuminata come la disposizione cane/gatto/cane/cane/cane.
Soluzione due gatti, quando la stanza 3 è illuminata con la disposizione gatto/cane/cane/cane/gatto.
A lunedì prossimo.
In questa pagina vengono pubblicati giochi matematici, logici e di ragionamento ogni 15 giorni il lunedì in mattinata.
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Fabio Ciuffoli è autore di diversi libri sul problem solving e i giochi logici e matematici, il più recente è Giochi matematici e logici.
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