103. Soluzioni del 14 agosto 2023 – Sospesi in equilibrio

Le soluzioni del 14 agosto 2023 a cura di Fabio Ciuffoli 

Ieri abbiamo proposto tre problemi sulle condizioni di equilibrio e ora pubblichiamo le soluzioni. 

Sospesi in equilibrio – soluzioni 

1. Il sistema in figura è in equilibrio. La scatola b pesa 73,5 kg. Quanto pesano le scatole a, c, e d? (non si tiene conto del peso di fili e bracci)2. SOLUZIONE. A partire dal basso, avremo il seguente sistema di equazioni:

• 17,5d = 5c
• 15 (d + c) = 5 · 73,5
• 30a = 7,5(73,5 + d + c)

svolgendo e sostituendo

• c = 17,5d/5                                             
• 15 (d + 17,5d/5)= 367,5                    
• 30a = 7,5(73,5 + 5,44 + 19,06)    

• 15(4,5d) = 367,5     d = 5,44
• c = 19,06
• a =735/30 = 24,5.

I valori sono approssimati al secondo decimale ma, come suggerisce Giorgio Vecchi, potremmo scriverli in forma frazionaria: a = 49/9; c = 343/18; d = 49/9.

2. Collocare nelle nove scatole, contrassegnate con le lettere a, b, c, … h, i, i nove pesi di 1 kg, 2 kg, 3 kg, … 8 kg, 9 kg, uno per scatola in modo che il sistema illustrato in figura  sia in equilibrio. Quale peso va collocato nella scatola con la lettera a? [non si tiene conto del peso di fili, bracci e scatole].

2. SOLUZIONE. Per l’equilibrio del braccio “imperniato” su c, deve risultare 3b = 2d. Per l’equilibrio del braccio inferiore, deve risultare 3g = 3e + f. Per l’equilibrio del braccio “imperniato” su h, abbiamo 3i = 4(e + f + g). Infine per l’equilibrio del braccio “imperniato” su a, abbiamo b + c + d = e + f + g + h + i.

Dalla terza uguaglianza apprendiamo che i è divisibile per 4. Non può essere i = 4 (perché altrimenti sarebbe e + f + g = 3 con e, f, g diversi) e allora i = 8. Ne segue: e + f + g = 6 e quindi: e, f, g, assumono valori nell’insieme (1, 2, 3). Analogamente, dalla prima uguaglianza, ricaviamo d = 6 (con b = 4) oppure d = 9 (con b = 6). A questo punto l’ultima uguaglianza si scrive come b + c + d = 6 + h + 8 ovvero  b + c + d = 14 + h. Sostituendo i valori (b,d) = (4,6) si ottiene h = 5, c = 9, a = 7. Sostituendo (b,d) = (6,9) otteniamo c = 4, h = 5, a = 7. In ogni modo, nella scatola con la lettera a, va collocato un peso di 7 kg.

3. Quali sono i pesi (interi <140) da sostituire alle lettere, dalla a alla f, affinché il sistema sia in equilibrio? [non si tiene conto del peso di fili, bracci e scatole].

3. SOLUZIONE. Avremo: 7a = 2b; 3e = 8f; 6d = 5c; 9(c + d) + (a + b) = 4(e + f). Svolgendo: b = 7a/2; f = 3e/8; d = 5c/6.

Ora sostituendo: 9(c + 5c/6) + (a + 7a/2) = 4(e + 3e/8)

che diviene: 9(11c/6) + (9a/2) = 4(11e/8)

semplificando: 33c + 9a = 11e da cui a = 11(e – 3c)/9

a deve essere multiplo di 11 e di 2, b multiplo di 7, c multiplo di 6, d multiplo di 5, e multiplo di 8, f multiplo di 3. 

a = 22; b = 77; c = 18; d = 15; e = 72; f = 27.

a = 44 è da escludere perché b supererebbe 140. 

I Giochi del Lunedì tornano tra due settimane.