99. Soluzioni del 26 giugno 2023 – Condizione necessaria e sufficiente

Le soluzioni del 26 giugno 2023 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo proposto quattro problemi sull’implicazione condizionale e ora pubblichiamo le soluzioni argomentate.

Condizione necessaria e sufficiente – soluzione

1. “Se Lorenzo va a ballare allora Maria rimane a casa”. Se la precedente affermazione è vera, allora è sicuramente vero che:

• A. Se Maria è rimasta a casa, Lorenzo è andato a ballare
• B. Se Maria non è rimasta a casa, Lorenzo non è andato a ballare
• C. Maria rimane a casa solo se Lorenzo va a ballare
• D. Se Lorenzo non va a ballare, Maria non rimane a casa
• E. Lorenzo e Maria sono fidanzati

1. SOLUZIONE. Si tratta di un’implicazione condizionale del tipo “se A allora B” dove A è rappresentata da “Lorenzo va a ballare” e B è rappresentata da “Maria rimane a casa”. In altri termini, Lorenzo va a ballare è condizione sufficiente ma non necessaria affinché Maria rimanga a casa, perciò Maria potrebbe rimanere a casa anche se Lorenzo andasse, per esempio, al cinema. In questo tipo di implicazione, l’unica deduzione certa è “se non B allora non A”, che diventa “se Maria non è rimasta a casa allora Lorenzo non è andato a ballare”. La risposta A è sbagliata perché Maria potrebbe essere rimasta a casa anche se Lorenzo è andato a ballare. La C è sbagliata perché Maria potrebbe rimanere a casa anche se Lorenzo non va a ballare; la D è sbagliata perché se Lorenzo non va a ballare Maria potrebbe rimanere a casa; la E è evidentemente falsa. La risposta corretta è la B.

2. “Solo se lavoro il sabato, riesco a completare la relazione”. In base alla precedente affermazione, è necessariamente vero che:

• A. Condizione sufficiente perché io riesca a completare la relazione è che io lavori il sabato
• B. Se lavoro il sabato, sicuramente riesco a finire la relazione
• C. Se non lavoro il sabato, non riesco a completare la relazione
• D. Se non riesco a completare la relazione, significa che non ho lavorato il sabato
• E. Nessuna delle altre alternative

2. SOLUZIONE. Si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente del tipo “solo se A allora B” dove A è “lavoro il sabato” e B è “completo la relazione”. In questi casi possiamo dedurre con certezza che “se B allora A” che diviene “se ho completato la relazione allora ho lavorato il sabato” e “se non A allora non B” che diviene “se non lavoro il sabato allora non completo la relazione”. Quest’ultima è la risposta corretta C. Le alternative A e B esprimono una condizione sufficiente, sono quindi errate così come D perché la relazione potrebbe non essere completata pur lavorando il sabato ma per altre ragioni non esplicitate nella frase.

3. “Se e solo se fa caldo, accendo il ventilatore”. In base alla precedente informazione, quale delle seguenti affermazioni sicuramente vera?

• A. Accendo il ventilatore solo prima di andare a dormire
• B. Ogni tanto accendo il ventilatore per fare circolare l’aria
• C. Condizione sufficiente, ma non necessaria, per accendere il ventilatore è che faccia caldo
• D. A volte, anche se fa caldo, non accendo il ventilatore
• E. Se accendo il ventilatore significa che fa caldo

3. SOLUZIONE. La condizione “fa caldo” (A) è necessaria e sufficiente per “accendere il ventilatore” (B). In questi casi possiamo dedurre con certezza “se non B allora non A”, “se non A allora non B” e “se B allora A”. Quindi “se e solo se fa caldo accendo il ventilatore”, può diventare “se accendo il ventilatore allora fa caldo” risposta E che è corretta. Le risposte A e B sono evidentemente false; la C e la D rappresentano due condizione sufficienti, quindi errate.

4. “Condizione sufficiente, ma non necessaria, affinché al Liceo Archimede l’anno scolastico si concluda con una festa è che le interrogazioni terminino entro la fine di maggio”. Determinare quale delle seguenti situazioni è incompatibile con l’affermazione precedente:

• A. Nel 2018 le interrogazioni sono terminate a marzo e poi non c’è stata la festa
• B. Nel 2016 uno studente è stato interrogato il 4 giugno e poi c’è stata la festa
• C. Nel 2013 uno studente è stato interrogato il 4 giugno e poi non c’è stata la festa
• D. Nel 2019 uno studente è stato interrogato il 3 aprile e poi non c’è stata la festa
• E. Da quando esiste il Liceo Archimede la festa c’è stata ad anni alterni

4. SOLUZIONE. La risposta corretta è la A. Si tratta di una condizione sufficiente ma non necessaria del tipo “se A allora B” che potrebbe riscriversi “se le interrogazioni terminano entro maggio allora ci sarà una festa”. L’unica alternativa incompatibile è quella del 2018 in cui A è vera e B falsa, che rendono l’affermazione iniziale falsa. In altri termini se le interrogazioni terminano entro maggio, ci deve essere la festa, ma la festa potrebbe esserci anche se le interrogazioni finiscono dopo maggio. La B, C e la D possono trarre in inganno in quanto si parla di uno studente e non di tutte le interrogazioni.

A lunedì prossimo.