29. Soluzioni del 31 gennaio 2022 – Affidarsi agli occhi e affidarsi ai conti

Le soluzioni del 31 gennaio 2022 a cura di Fabio Ciuffoli

Ieri abbiamo proposto cinque problemi che prevedono diversi metodi per la soluzione e di seguito presentiamo i relativi procedimenti.

Affidarsi agli occhi e affidarsi ai conti – soluzioni 

1. ABC è un triangolo rettangolo dove l’ipotenusa AC è il diametro della circonferenza più grande. I cateti misurano 8 cm e 15 cm. Quanto vale la somma dei diametri delle due circonferenze?

1. SOLUZIONE. Presentiamo due metodi: il primo si basa sull’intuizione e la percezione visiva, mentre il secondo si affida alla riflessione e ai calcoli.

Primo metodo. Con il teorema di Pitagora si calcola l’ipotenusa di 17 cm. Osserviamo che i segmenti di tangenza dal punto A alla circonferenza piccola sono uguali e lo stesso accade per i segmenti dal punto B e C.

Sottraendo quindi dalla somma dei due cateti la lunghezza dell’ipotenusa, restano i due segmenti di tangente uscenti dal vertice B dell’angolo retto, che sono uguali al raggio della circonferenza piccola.Si può determinare, senza altri calcoli, che il diametro della circonferenza più piccola è 8 + 15 – 17 = 6 cm.

Secondo metodo: Dopo aver calcolato l’ipotenusa di 17 cm ragioniamo sul triangolo ABC che è circoscritto alla circonferenza più piccola e, come in tutti i poligoni circoscritti, l’area del poligono si può calcolare con la nota formula “Area = perimetro per apotema diviso 2”. In questo caso l’apotema è il raggio della circonferenza inscritta, il perimetro è 8 + 15 + 17 = 40 cm e quindi l’area del triangolo è (8 * 15) /2 = 60 cm². Ora applicando la formula inversa con incognita l’apotema, “Apotema = (Area * 2 ) / perimetro”, avremo: (2 * 60) / 40 = 3 cm che è il raggio e quindi il diametro è 6 cm.

Infine la somma dei diametri delle due circonferenze è 17 + 6 = 23 cm. 

2. L’area del quadrato è 225 cm² divisa in nove quadratini uguali tra loro. La stella è stata costruita congiungendo i vertici del quadrato con i punti medi dei lati del quadratino centrale. Quanto vale l’area della stella?

2. SOLUZIONE. L’area della stella è data dalla differenza tra l’area dell’intero quadrato e l’area dei quattro triangoli azzurri uguali tra loro. In ogni triangolo azzurro, la misura della base è quella del lato del quadrato (15 cm) e la misura dell’altezza è 1/3 di quella del lato del quadrato (5 cm). Quindi l’area della stella è 225 – (4 * 15 * 5) / 2 = 75 cm².

Una soluzione che si “affida più agli occhi che ai conti” si basa sull’osservazione dell’area di ciascuno dei triangoli azzurri che è 1/6 dell’area del quadrato.  L’area dei quattro triangoli azzurri è 4/6 quindi 2/3 dell’area del quadrato, perciò l’area della stella è 1/3 dell’area del quadrato quindi 225/3 = 75 cm².

3. Quanto vale l’area del quadrato grigio, sapendo che l’area del quadrato a puntini è un quarto dell’area del quadrato grande?

3. SOLUZIONE. Nel disegno mostriamo che il quadrato grigio è composto da quattro piccoli triangoli, inoltre nove di loro costituiscono una metà del quadrato grande. L’area del quadrato grigio è quindi: [(225/2) * 4 / 9] * 4 = 200 cm². Più in generale, il rapporto tra area grigia e area puntinata è 8/9.

4. All’interno del quadrato in figura è stato disegnato un triangolo. Qual è il rapporto tra l’area del triangolo e l’area del quadrato?

4. SOLUZIONE. Osservando la figura si può vedere che il triangolo rosso, appositamente scomposto, occupa 1/8 + ¼ = 3/8 del rettangolo. Lasciamo al lettore individuare altri metodi basati sul calcolo di aree dei triangoli e dei quadrati.

5. Il puzzle, in figura a sinistra di chi legge, è stato costruito dividendo un quadrato di lato 24 cm con due segmenti perpendicolari tra loro e passanti per il centro del quadrato. I quattro pezzi del quadrato così ottenuti possono essere assemblati di nuovo per formare l’altro quadrato, con un buco nella regione centrale, a destra in figura. Quanto misura in cm il lato del nuovo quadrato?

Disegno non in scala

5. SOLUZIONE. Il primo quadrato presenta un’evidente simmetria rispetto al suo centro e si vede che è diviso in quattro quadrilateri uguali, ciascuno dei quali ha due lati che misurano 7 e 17 cm. Ciascun semitaglio si può calcolare con il teorema di Pitagora. Il semitaglio è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti 12 e 5 cm e misura 13 cm, come mostrato in figura.

Disegno non in scala

Ciascuno dei quattro quadrilateri ha due angoli retti nei quali confluiscono: i due lati 7 e 17 cm e due semitagli lunghi ciascuno 13 cm. Il quadrato di destra è più grande perché ai quattro pezzi del puzzle si è aggiunto un nuovo quadrato. Nei vertici del quadrato di destra non possono allora confluire i lati di 7 e 17 cm, perché altrimenti il quadrato di destra avrebbe le stesse dimensioni di quello precedente. Vi confluiscono dunque i due semitagli da 13 cm, perciò il lato del nuovo quadrato è 26 cm. Ovviamente l’area del quadrato interno è 100 cm² e il suo lato 10 cm.

A lunedì prossimo.