18. Giochi dell’8 novembre 2021 – Una fiera di paese e una scacchiera quadrata

19 risposte

1. Dalle proposte di soluzione scritte finora, emerge una duplice interpretazione del testo.
   1. La scacchiera è costruita a secco su un tavolo rialzato di lato 60 x 60, quindi se il centro della moneta viene a trovarsi fuori dalla scacchiera la moneta cade e il gioco finisce in parità;
   2. La scacchiera è disegnata, a livello del piano ad esempio su un banco o sulla strada, quindi con la presenza di bordi laterali e in questo caso, se il centro della moneta viene a trovarsi fuori dalla scacchiera, ma la copre anche solo in parte, il giocatore è perdente.
   Il caso 1 è stato prospettato da Nino mentre il caso 2 è stato prospettato da Giuseppe Roccasanta e da Salvatore. I risultati ovviamente sono diversi.
   Le interpretazioni sono entrambe accettabili. Nel pomeriggio di martedì le soluzioni.

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2. – 19,047619 %
   – 2,93 cm

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   1. Puoi esporre, se ti va, il procedimento? Il secondo risultato va bene ma il primo non riesco a capire da quale procedimento deriva.

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      1. (4^2/100-4^2)*100

         Area “vincente”/ Area “perdente” %

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         1. Forse è un problema di scrittura della formula, ma non riesco a calcolare correttamente il tuo risultato

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         2. Sorry, ora ho capito [4^2 / (100 – 4^2)] * 100 = 19,047619%, ma la formula corretta è: “area vincente” / “area totale” % . Nel pomeriggio le soluzioni argomentate.

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            1. Esatto, oltre ad essere errata mancavano anche le parentesi XD

               La risoluzione del secondo quesito:
               L’area del quadrato interno e quella della cornice di ogni casella devono essere uguali (10^2/2)
               Lato quadrato interno =√50
               Diametro moneta =10-√50=~2,93 (2,92893219)

3. Ottimo confronto. Se può essere utile allego il disegno seguente. A domani per le soluzioni.

   

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   1. Anche io ho fatto lo stesso schema (vedi disegno), considerando che l’area sfavorevole si estende per un raggio di larghezza oltre al quadrato, infatti quando il centro del cerchio è a distanza minore di un raggio dalla casella (quella sul bordo della scacchiera), il giocatore perde.

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4. Credo di avere fatto lo stesso ragionamento di Salvatore, perché ottengo lo stesso risultato:
   Perché la moneta cada dentro il quadrato o tocchi il bordo dello stesso, dobbiamo considerare che il centro della moneta cada dentro il quadrato oppure entro una fascia perimetrale che genera un quadrato con gli angoli arrotondati.
   Chiamiamo l il lato del singolo quadratino della scacchiera, n il numero di quadratini per ogni lato, e r il raggio della moneta.
   L’area di questa fascia perimetrale, detto r il raggio della moneta e l il lato del quadrato, sarà:
   ( 4 * ( l * n * r )) + ( r ^ 2 * π )
   L’area della scacchiera sarà:
   ( l * n ) ^ 2
   Perché la moneta cada dentro uno dei quadratini della scacchiera senza toccare il bordo bisogna che cada dentro un quadrato concentrico al quadratino della scacchiera la cui area è:
   ( l – ( 2 * r )) ^ 2
   Quindi l’area utile sarà:
   ( n ^ 2 ) * (( l – ( 2 * r )) ^ 2 )
   La probabilità dovrebbe essere data dall’area utile diviso l’area totale (area della scacchiera più la fascia perimetrale):

   ( n ^ 2 ) * (( l – ( 2 * r )) ^ 2 )
   ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
   (( l * n ) ^ 2 ) + ( 4 * ( l * n * r )) + ( r ^ 2 * π )

   Svolgendo con le misure indicate si ottiene una probabilità del:
   13,2466% circa

   Con lo stesso ragionamento per portare la probabilità al 50% dobbiamo porre che l’area utile sia uguale alla metà dell’area totale:
   ( 6 ^ 2 ) * (( 10 – ( 2 * r )) ^ 2 ) = ((( 10 * 6 ) ^ 2 ) + ( 4 * ( 10 * 6 * r )) + ( r ^ 2 * π )) / 2

   Volgendo in r e risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene un diametro di
   2,60 circa

   Se il diametro della moneta è uguale al lato del quadratino la probabilità è uguale a zero, o meglio un numero infinitamente piccolo in quanto ci sono solo 36 punti “vincenti”, i centri esatti dei quadratini della scacchiera, contro gli infiniti punti della scacchiera stessa.

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   1. Se il diametro della moneta fosse 10 cm, uguale al lato del quadratino, la probabilità di vincita per il giocatore sarebbe uguale a zero, come da te indicato.

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5. Per ora: prima risposta approssimando qualcosa ai centesimi, 13.2467%

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   1. Non proprio, non é questione solo di centesimi…

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      1. Ho pensato così: il centro del cerchio può tracciare un quadrato 4 x 4 cm.
         Se il centro cade all’interno del quale, per ogni casella, si vince.

         Per perdere deve cadere non solo nella parte complementare della scacchiera, ma anche in un contorno largo 3 cm (raggio) con 4 settori circolari agli angoli a formare un cerchio di raggio r = 3 cm.
         Vedi disegno allegato, dove ho riprodotto una scacchiera 3 x 3, ovviamente nei calcoli l’ho allargata a 6 x 6.
         Il secondo ho calcolato con incognita r il rapporto tra area favorevole e area totale, ponendo questo rapporto uguale a 1/2, quindi ho risolto l’equazione di secondo grado in r.

         

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   2. Seconda risposta: diametro = 2.6306…

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      1. Anche per me l’altra soluzione, 9.40… cm è non impossibile, ma evidentemente da scartare (come qualsiasi diametro maggiore o uguale a quello della risposta 1).
         Ovviamente la mia precedente risposta è in cm

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6. 1) (10-6)^2/10^2 = 16%

   2) (10-d)^2 = 0,5*10^2 Da cui d^2-20d+50 = 0 e d=10-5sqrt(2) circa 2,9289 cm
   L’altra soluzione (17,071 cm) è chiaramente impossibile

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   1. Bene, a domani per le soluzioni argomentate. Allora rilancio: “Se il diametro della moneta fosse 10 cm, uguale al lato della casella, quale sarebbe la probabilità di vincere del giocatore?”.

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      1. 36/infinito 😀

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