Galois, un genio rivoluzionario

Come si fa a non innamorarsi di Évariste Galois? Un genio incompreso che a diciannove anni – era il 1830 – aveva già scoperto e dimostrato leggi matematiche che non sarebbero state capite a fondo se non dopo diversi anni. Un rivoluzionario impavido in tempi di restaurazione, capace di andare in galera per sostenere le sue idee. Poi, la morte in duello prima di compiere ventun anni. La sua breve vita è un capolavoro: Galois è il perfetto eroe romantico, geniale e incompreso. Parla ai giovani perché è intemperante e arrogante, come spesso i ragazzi molto intelligenti sanno essere, e non è capace di mediazioni. Vive la matematica con grande passione ma anche con amarezza, perché nessuno riconosce o capisce i suoi risultati. Pensare che a quei tempi nell’accademia francese circolava gente come Lagrange, Laplace, Fourier, Ampère, Cauchy, Coriolis, Poisson e Gay-Lussac, la crème de la crème della scienza mondiale. Resta un mistero come con tanta intelligenza matematica intorno, nessuno gli abbia dato credibilità e abbia captato il valore immenso della sua giovane mente innovatrice. Capire i suoi risultati è parecchio complicato: tutto è partito dallo studio della risoluzione di equazioni algebriche, cioè ottenute annullando un polinomio, di grado superiore al quarto. Dalla fine del ‘500 si sapevano risolvere con una formula generale solo le equazioni fino al quarto grado. Alla fine del ‘700, Paolo Ruffini disse di aver dimostrato che non può esistere una formula risolutiva generale che funzioni con tutte le equazioni di quinto grado e contenga solo le operazioni aritmetiche e l’estrazione di radici, cioè – come si dice – risolva l’equazione per radicali, come le formule precedenti. La prova di Ruffini era lacunosa e venne completata nel 1824 da un giovane matematico norvegese, Abel, che presto sarebbe morto anche lui. Però, il problema di stabilire se, in assenza della formula generale, una data equazione arbitraria di grado superiore al quarto fosse o meno risolvibile per radicali non era ancora risolto e divenne l’ossessione di Galois. Il suo contributo fondamentale, che ottenne spostando il problema su un piano completamente diverso, fu quello di definire le condizioni generali perché ciò potesse succedere. Per aver un’idea di come il suo percorso logico si è sviluppato, proviamo a seguirne alcuni passi. Sappiamo che sicuramente partì da alcuni risultati di Lagrange, per poi andare più a fondo ed estenderli. Studiò la simmetria legata alle permutazioni che si possono eseguire sulle soluzioni senza che alcune regole di base siano violate. Considerando le soluzioni α, β, γ, … di un’equazione Galois studiò un insieme di equazioni E₁, E₂, E₃ … a coefficienti razionali che si costruiscono su α, β, γ …, per esempio E₁: α+β=0, che sono valide permutando le soluzioni, per esempio β + α = 0. Non sono tutte le permutazioni possibili, ma sono un loro sottoinsieme che Galois chiamò gruppo dando origine a un concetto che sta alla base di quella che sarà detta algebra moderna per distinguerla dall’algebra elementare che si impara a scuola. Dunque, il gruppo introdotto da Galois è costituito da un sottoinsieme di tutte le possibili permutazioni delle soluzioni di un’equazione. Il giovane matematico francese dimostrò che, affinché un’equazione sia risolvibile per radicali, questo gruppo deve avere particolari proprietà. Dimostrò pure che per ogni grado n esistono equazioni il cui gruppo contiene tutte le permutazioni possibili delle soluzioni, anche se esse non sono note. In un certo senso sono equazioni le cui soluzioni hanno massima simmetria e si scoprirà che, per n>4, sono quelle per cui non esiste una formula risolutiva. Da questo momento, il ragionamento abbandona le equazioni per spostarsi in un altro mondo. Il gruppo di Galois si può risolvere (il termine è di Évariste) se può essere scomposto in sottogruppi legati da una complessa relazione basata sui numeri primi e questo caso si decompone in modo che l’equazione corrispondente si scomponga nel prodotto di fattori di grado inferiore che sono risolti singolarmente. Per valori di n fino a 4 ciò è sempre possibile. Invece, per n>4, non lo è per il gruppo che contiene tutte le permutazioni, corrispondente a equazioni di grado n per le quali l’insieme dei radicali e dei numeri razionali e complessi non è più sufficiente per rappresentare le soluzioni. L’opera di Galois fu pubblicata solo nel 1846, quattordici anni dopo la sua morte, e solo lentamente i matematici ne apprezzarono la portata. Nel frattempo Cauchy, che aveva avuto tra le mani i suoi manoscritti, aveva pubblicato ben tredici articoli su argomenti correlati, senza mai citare Galois. L’algebra moderna, l’abbiamo detto, è una teoria originata dall’opera di Galois e su questo tutti i matematici concordano.