Viaggi, elastici e mappamondi

È fatta: imbarcato il bagaglio, superati i controlli di sicurezza, siamo a bordo e finalmente si parte! Decolliamo da Pisa diretti a Los Angeles. Che bello: un po’ di sud della Francia, un breve tratto sul nord della penisola iberica e poi, dopo un bel tratto di mare, nel nostro viaggio verso sud-ovest sorvoleremo gli Stati Uniti in diagonale facendo ciao ciao agli Stati del sud, dalla Virginia all’Arizona, sfiorando il Texas. E invece no: sul nostro monitor personale, la rotta di cui ci informa il capitano punta decisa verso nord, sfiora Parigi, taglia il Regno Unito, scantuccia la Groenlandia e, calando a picco dal Canada, approda alla nostra destinazione sorvolando nell’ordine Montana, Idaho e Nevada. È impazzito il pilota? Macché, sta semplicemente cercando di portarci a destinazione nel tempo minore minimizzando al contempo il carburante e la spesa. Per farlo, sceglie la rotta più corta. Il motivo per cui, guardando l’atlante, facciamo confusione è che l’atlante stesso cerca di spalmare sul piano una superficie, quella terrestre, che è tutt’altro che piana, anche se non tutti ne sono convinti! Fate quindi un semplice esperimento. Procuratevi un elastico e due quadratini di nastro adesivo: incollate sul mappamondo uno degli estremi dell’elastico, tramite il primo quadratino, in corrispondenza di Pisa, mettete l’elastico in tensione e incollate il secondo estremo sopra a Los Angeles. Voilà: ecco la traiettoria del nostro capitano. Fate la prova e vedrete con i vostri occhi che si tratta della traiettoria più corta. In altri termini, il capitano sceglie tra tutte le linee che collegano Pisa con Los Angeles quella più “dritta”, il segmento sferico tra il punto di partenza e quello di arrivo.

CHE COSA VUOL DIRE ANDARE DRITTI SULLA SFERA

Riprendiamo l’esperimento dell’elastico in termini un po’ più matematici. Consideriamo allora la sfera terrestre e immaginiamo di tagliarla con un piano: la sezione che otterremo sarà sempre una circonferenza, più o meno grande a seconda della posizione del piano. Se il piano è tangente, avremo come sezione un punto, ovvero una circonferenza di raggio nullo. Se il piano passa per il centro della sfera, allora otterremo la circonferenza di raggio più grande, pari a quello della sfera stessa. Per questa sua proprietà, una tale circonferenza si dice circonferenza massima.

Scegliamo adesso due punti sul mappamondo, diciamo Pisa e Los Angeles, e affettiamo il mappamondo con l’unico piano che contiene i due punti e passa per il centro della Terra: in questo modo determiniamo la circonferenza massima che passa per Pisa e Los Angeles, che viene divisa da questi due punti in due archi. Scegliamo, tra i due, quello più corto: elastico alla mano, potreste verificare che il percorso che avete prima individuato sul mappamondo coincide perfettamente con questo arco, che è quindi il segmento sferico che unisce le due città e individua, dunque, la traiettoria più corta, che chiameremo geodetica.

A DIRLA TUTTA…

C’è da precisare che la traiettoria geodetica, che sarebbe quella ottimale, nella realtà viene mediata da considerazioni di sicurezza. Per garantire che l’aereo sia in sicurezza durante il tragitto, la rotta effettiva è una spezzata che unisce tutti gli aeroporti che si trovano nei paraggi della geodetica tra la partenza e la destinazione. Più precisamente: lo spazio aereo è definito da una serie di punti, detti radiofari, che definiscono le “vie”. È come se ci fossero delle autostrade in aria costituite dai segmenti che uniscono i radiofari che di solito si trovano in corrispondenza degli aeroporti. In pratica, un aereo si sposta da un aeroporto al successivo tra quelli che stanno vicini alla sua rotta. A quel punto, se succede qualcosa in volo, ti trovi sempre indirizzato verso l’aeroporto più prossimo.