Giochi matematici – Trucchi del mestiere: quante soluzioni ammette il problema?

Una delle domande che ricorrono più frequentemente nei quesiti presenti nelle competizioni internazionali di giochi matematici, e che influisce pesantemente sulle classifiche, è: “Quante soluzioni ammette il problema?”.

Di fronte a questa richiesta, si può cominciare a pensare che il problema possa essere risolto con una equazione o un sistema di equazioni in cui il numero di incognite è maggiore di quello delle equazioni, con le soluzioni da ricercare nell’insieme dei numeri naturali. Sono equazioni che rientrano in quelle che vengono chiamate “diofantee”, a coefficienti interi, con le soluzioni da ricercare tra i numeri interi.
Il “trucco del mestiere”, nel caso di un’equazione con due incognite, consiste nell’esplicitare una delle due incognite e scomporla nella somma di un numero intero e di una frazione in cui l’altra incognita figura solo al numeratore o solo al denominatore. Per capirci meglio vediamo qualche esempio.

FIORI DI PRIMAVERA
Per realizzare la sua composizione floreale su un foglio, Carla utilizza solo due tipi di fiori: uno con 4 petali e l’altro con 3 petali. Una volta terminata la composizione, si rende conto di avere disegnato 33 petali. Quanti fiori con 4 petali ha disegnato Carla? Quante soluzioni ammette il problema?
Indicando con Q il numero (intero) di fiori con 4 petali e con T il numero di fiori con 3 petali, l’equazione (indeterminata) risolvente il problema è 4Q+3T=33. Il suggerimento è di esplicitare una delle incognite: T=(33–4Q)/3 che diventa T= 11– (4Q)/3. Questa divisione è il passaggio chiave: Q deve risultare un multiplo di 3, tale che non faccia diventare T negativo. Il problema ammette 3 soluzioni; Q=0, 3, 6 (a cui corrispondono rispettivamente T=11, 7, 3).

MELE E PERE
Alice e Bob, questa sera, hanno invitato sette amici a cena e a fine pasto vorrebbero offrire della frutta fresca, mele e pere che coglieranno nel loro frutteto. Questo però è parecchio distante dalla casa e Alice e Bob, ormai avanti con gli anni, sanno di poter portare 7 chili di frutta in due. D’altra parte, desiderano che ognuno dei loro invitati possa scegliere quali frutti mangiare. Una mela pesa 300 g, una pera 200 g.
Quanti frutti devono raccogliere volendo recarsi una sola volta nel frutteto? Quante soluzioni ammette il problema? Qual è il numero “massimo/minimo” di frutti che raccoglieranno?
Indicando con M il numero (intero) di mele e con P quello di pere, l’equazione (indeterminata) risolvente il problema è 300P+200M=7000 e, semplificando, 3P+2M=70. Da qui si ricava: M=(70–3P)/2 che diventa M=35–(3P)/2. È il passaggio chiave: si ricava che P deve essere un numero pari, maggiore di 7 (per via dei 7 amici). Il problema ammette allora 6 soluzioni; P=8,10, 12, 14, 16, 18, (a cui corrispondono rispettivamente M=23,20, 17, 14, 11, 8). Al massimo, Alice e Bob dovranno raccogliere 31 frutti, al minimo 26.