Zip proof – anche le stranezze hanno uno scopo

C’è una dimostrazione in matematica che ha un nome buffo: la zip proof, cioè la dimostrazione della zip, della chiusura-lampo. La dimostrazione, dei primi anni Novanta del secolo scorso, è di John Conway, che gli ha dato il nome con cui ora è nota in letteratura. La parola zip, oltre che riferirsi alla chiusura-lampo, è un acronimo che sta per Zero Irrelevancy Proof, dimostrazione priva di incongruenze.

La questione a cui ci si riferisce rappresenta un classico della topologia: classificare le superfici a meno di trasformazioni topologiche (tecnicamente chiamate omeomorfismi): è lecito quindi deformare la superficie e stiracchiarla quanto si vuole – lunghezze e angoli non hanno più alcun senso in topologia –, ma non è lecito fare tagli (rendendo “lontani” dei punti che erano “vicini”) o incollamenti (rendendo “vicini” dei punti che erano “lontani”). O meglio: si possono anche fare dei tagli, purché poi ci si ricordi di cosa si è tagliato e si ri-incolli esattamente allo stesso modo.

È proprio questo il punto dove entrano in gioco le zip, che si prestano particolarmente bene per “modellizzare” questa operazione di taglia e cuci. Perché le zip? Perché non potremmo pensare per esempio al velcro?
Il punto è che dobbiamo ricucire esattamente dove e come avevamo tagliato (altrimenti “non vale”).

Quindi, per ogni taglio, occorre tenere traccia non solo di quali sono i due tratti che erano prima uniti e che sono stati separati dal taglio ma anche di come erano uniti, in modo da poterli ricucire come erano prima.

Per convincersi di quanto la zip ci offra un modello adatto alla situazione, basta osservare le figure 1 e 2: se sui due lati opposti del rettangolo avessimo il velcro, potremmo richiudere lo stesso rettangolo in due modi diversi, ottenendo rispettivamente un cilindro e un nastro di Moebius. Ma se partiamo da un cilindro, apriamo e richiudiamo “alla viceversa” (come potremmo fare con il velcro e come, invece, non possiamo fare con la zip), rendiamo in questo modo vicini dei punti che prima erano lontani e questa non è una trasformazione topologica. In effetti, un cilindro non è la stessa cosa di un nastro di Moebius, neanche in topologia!
Con la zip, invece, tutto funziona: se si parte da un cilindro e si immagina di aprirlo lungo una zip e poi richiuderlo, si otterrà sempre un cilindro (anche se, dopo aver aperto la zip, prima di richiuderla lo si attorciglia come in figura 3). Quindi fra le trasformazioni topologiche possiamo comprendere, oltre alle deformazioni, anche le operazioni di apertura e successiva chiusura di una zip. Torniamo alla classificazione delle superfici. Il problema è il seguente: con le “regole del gioco” che abbiamo descritto, cioè a meno di trasformazioni topologiche, quante e quali sono le superfici diverse fra loro? Possiamo addirittura esibire un elenco di superfici e affermare che qualunque altra (con certe caratteristiche su cui qui non ci soffermeremo) è omeomorfa a una di quelle elencate? La risposta è affermativa e l’elenco è accennato in figura 4; solo accennato, però, perché è infinito, ma osservando la figura è facile immaginare come continua.

Si può da questa figura ricavare l’impressione (fuorviante) che per identificare una superficie basti contare il numero di “buchi”: in un certo senso è anche vero ma è meno banale di quanto possa sembrare e, per rendersene conto, basta osservare le superfici in figura 5 e in figura 6: dove sono i buchi? Quanti sono? Per esempio, per la superficie in figura 6, come possiamo dire a quale superficie è omeomorfa, fra quelle dell’elenco in figura 4? E come possiamo immaginare una deformazione? Per rispondere a queste domande le zip ci vengono in aiuto: possiamo, come rappresentato in figura 7, scegliere (opportunamente!) delle curve lungo cui tagliare la superficie, immaginare delle zip lungo queste curve, aprire queste zip, deformare la superficie in modo da farla “somigliare” a una nella posizione standard dell’elenco di figura 4 e poi richiudere le zip: il gioco è fatto!

L’idea della zip proof di Conway è sostanzialmente analoga: aprire la superficie lungo delle zip fino a renderla riconoscibile e poi richiudere accuratamente queste zip in modo da tenere sempre sotto controllo il risultato ottenuto. Naturalmente, affinché queste indicazioni funzionino non su un dato esempio ma per una superficie qualsiasi, occorreranno scelte molto drastiche. Si parte da un potente risultato topologico che afferma che ogni superficie è triangolabile: si può immaginare la superficie divisa in triangoli e una zip su ciascun lato in comune a due triangoli. Aprendo tutte le zip, si ottiene un mucchio di triangoli (un numero finito, però, perché si parte da una superficie compatta, una delle caratteristiche su cui qui sorvoliamo). Siamo quindi arrivati a una superficie conosciuta: ogni triangolo, a meno di trasformazioni topologiche, è come un disco che, a sua volta, è come una sfera a cui sia stato praticato un foro. Sappiamo anche come tornare alla superficie di partenza: basta richiudere tutte le zip. Quello che resta da fare sarà appunto esaminare che cosa può succedere (alla topologia della superficie) chiudendo una zip, in tutti i diversi casi che si possono presentare.

In conclusione – ed era questo che ci premeva mettere in luce, al di là del teorema che serve a dimostrare – l’idea di usare le zip non è soltanto una bizzarria: è esattamente funzionale all’operazione (astratta, topologica) che si sta conducendo.
La zip proof non è l’unico esempio di questo tipo nel lavoro di Conway. Scorrendo l’indice di Geometry and the Imagination (a cura di John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman e Bill Thur- ston) si trova di tutto: dalle biciclette alle pizze, da come lavorare a maglia un nastro di Moebius alla curvatura gaussiana totale di una foglia di cavolo. E altrove troviamo il teorema magico, o l’orbifold shop, dove si possono acquistare i miracoli. Non si tratta solo di nomi bizzarri, ma di trovare nella nostra esperienza quotidiana un riscontro evocativo dell’operazione astratta che si vuole raccontare, in modo da riempirla di significato. Non è raro che, rileggendo le stesse pagine a distanza di tempo, quando i concetti sono sedimentati e acquisiti, si riconosca che quelle trovate che in prima battuta ci avevano fatto sorridere sono anche assolutamente funzionali allo scopo e si rivelano strumenti preziosi per far comprendere in profondità un bel capitolo di matematica.