Giochi matematici – Trucchi del mestiere: la successione di Fibonacci

“Ho notato che è una successione di somme parziali. Probabilmente c’è di mezzo Fibonacci”. Sono parole di Edouard Lucas (1842-1891), uno dei più famosi esponenti della matematica ricreativa, inventore del famoso gioco della Torre di Hanoi. Fu lui a scoprire le prime notevoli proprietà della successione di Fibonacci e a darle il nome con la quale ancor oggi è conosciuta in tutto il mondo. La successione e il nome prendono spunto dal problema proposto nel dodicesimo capitolo del Liber Abaci di Fibonacci, dove si chiede quante coppie di conigli ci saranno alla fine di un anno partendo da una singola coppia. I numeri di queste coppie sono via via legati a quelli delle coppie presenti nei due mesi precedenti dalla relazione F_n=F_n-1+F_n-2 dove F_n rappresenta l’ennesimo termine della successione. Con F₁=1 e F₂=1, si ottiene la classica successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…
Nel tempo sono state scoperte molte interessanti proprietà legate alla successione di Fibonacci e ad altre successioni simili, tra cui quella di Lucas che ha la stessa legge che genera l’elemento ennesimo ma in cui il primo elemento vale 2 e il secondo 1. Da queste proprietà sono poi nati piacevoli spunti per la matematica ricreativa. Ecco alcune di queste proprietà valide in particolare per la successione di Fibonacci. Tenete anche presente che dal 1963, ogni tre mesi, la Fibonacci Association pubblica sul sito The Fibonacci Quarterly una serie di articoli con nuovi e interessanti risultati.
1 – Due numeri consecutivi della successione sono sempre primi tra loro.

2 – Il MCD tra due numeri qualsiasi della successione è il numero della successione a cui corrisponde il MCD tra gli indici dei due numeri: MCD(F_m; F_n) = F_d con d=MCD(m;n).

3 – La somma di tutti i numeri della serie di Fibonacci fino a quello di posto n (generico), aumentata di uno, è uguale al numero di Fibonacci situato due posti in avanti: F₁+F₂+F₃+…+F_n+1=F_n+2.

4 – Se non si sommano tutti i numeri della successione, ma se ne somma uno sì ed uno no, il risultato è sempre il numero della successione che segue immediatamente l’ultimo addizionato. Ad esempio, sommando un numero ogni due dei primi sette, si ottiene l’ottavo: 1+2+5+13=21.

5 – Se dividiamo F_n per F_n-2 otteniamo sempre 2 per quoziente e F_n-3 per resto. Ad esempio, se prendiamo F₁₀=55 e lo dividiamo per F₈=21, otterremo 55:21=2 e resto 13 (che è F₇).

6 – Il quadrato di qualsiasi numero della successione F_n è sempre uguale al prodotto tra il numero che lo precede F_n-1 e quello che lo segue F_n+1, più o meno 1.

7 – Ogni numero naturale può essere ottenuto come somma di due o più numeri della classica successione di Fibonacci.

8 – Ogni numero di Fibonacci è minore del doppio del numero che lo precede e anche del triplo del numero che lo precede di due posti.

Quali possono essere gli “indizi” che portano a pensare alla successione di Fibonacci nella risoluzione di un particolare quesito? Abbiamo volutamente parlato di indizi perché nella risoluzione di giochi matematici non ci sono regole ferree da seguire, ma solo consigli derivanti dall’esperienza. In questo caso il consiglio è di pensare ai numeri di Fibonacci, utilizzando la loro successione e le loro proprietà come potete vedere negli esempi successivi, quando

■ vi trovate in una situazione S che dipende da un numero intero n (un giorno, un anno, il numero di certe caselle ecc.)
■ riuscite a trovare o a ipotizzare un legame tra questo S_n e i valori di S_n-1 e S_n-2 che esprimono la stessa situazione in corrispondenza però di un numero minore (n-1 oppure n-2) di giorni, anni, caselle ecc.

Buon gioco con Fibonacci!