Giochi matematici – Trucchi del mestiere: le terne pitagoriche

Per risolvere con successo i giochi matematici servono sicuramente abilità e conoscenze, intuizione e fantasia ma… anche conoscere alcuni semplici trucchi o scorciatoie può aiutare! Eccovi un primo esempio!

Una terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi (a, b, c) tale che a²+b²=c². Alcune terne pitagoriche sono molte famose e certamente erano già conosciute nell’antichità (una loro chiara traccia è stata ritrovata su una tavoletta d’argilla babilonese) e utilizzate per disegnare gli angoli retti. Per esempio un triangolo di lati 3, 4 e 5 (indipendentemente dall’unità di misura) avrà l’angolo formato dai due lati minori retto. La terna (3, 4, 5) è infatti la più semplice delle terne pitagoriche, dal momento che 3²+4²=5².

Il nome di “terna pitagorica” è un’evidente e immediata conseguenza del famoso teorema di Pitagora. Geometricamente i primi due numeri rappresentano la misura dei cateti e il terzo la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Distinguiamo due tipi di terne pitagoriche: quelle primitive e quelle derivate. Per esempio (3, 4, 5) è una terna primitiva, mentre (6, 8, 10) è derivata perché ottenuta dalla primitiva moltiplicando i suoi tre elementi per 2. Altre terne derivate da (3, 4, 5) sono (9, 12, 15), (12, 16, 20), (15, 20, 25)… In ogni terna pitagorica primitiva il massimo comun divisore fra i tre numeri è 1, proprietà che non è più vera in quelle derivate. Da un punto di vista geometrico, due terne derivate l’una dall’altra descrivono due triangoli simili tra loro. Mentre non esistono terne di numeri naturali che soddisfano l’uguaglianza aⁿ+bⁿ=cⁿ con n>2 (Ultimo teorema di Fermat), esistono infinite terne pitagoriche primitive, e ognuno può divertirsi a trovarne molte senza fatica. Ecco le sedici terne pitagoriche primitive che hanno tutti i numeri minori di 100:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17)
(9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)
(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)
(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

C’è una formula che permette di ottenere tutte le infinite terne pitagoriche primitive. Si può infatti dimostrare che le terne pitagoriche primitive sono tutte e sole quelle terne (a, b, c) per le quali esistono due numeri naturali m e n, con m > n , primi tra loro, uno pari e l’altro dispari, tali per cui a=m²−n², b=2 m n, c=m²+n².
Le terne pitagoriche rappresentano un ponte tra la geometria e l’algebra. La loro definizione è infatti algebrica (a²+b²=c²) ma ha subito un’interpretazione geometrica, legata al teorema di Pitagora. Chi partecipa alle gare matematiche farebbe allora bene a tenere presenti e a ricordare le prime terne pitagoriche, almeno quelle con gli elementi inferiori a 100. Potrebbero infatti tornargli utili per facilitare i calcoli nei quesiti di carattere geometrico dove figura un triangolo rettangolo o comunque una costruzione con le misure di altri segmenti espresse tramite numeri interi. Potrebbero altresì essergli utili anche per risolvere alcuni quesiti algebrici, aiutando a tradurli in un modello geometrico.