Cardano, Tartaglia e la formula contesa

La feroce controversia tra i due grandi matematici del Rinascimento si concluse con un duello: non con la spada ma a colpi di indovinelli

Il 19 febbraio 1512, giovedì grasso di Carnevale, Brescia stava vivendo quella che sarà ricordata come una delle giornate più tragiche della sua storia. Sul volgere dell’alba le milizie francesi di Luigi XII assaltarono la città e, dopo averla rapidamente conquistata, la saccheggiarono e ne massacrarono gli abitanti con brutale ferocia. Neppure i bambini furono risparmiati. Durante gli scontri, un 12enne di nome Niccolò Fontana fu colpito da alcune sciabolate alla testa e in pieno volto. Curato dalla madre, Niccolò si ristabilì ma rimase balbuziente a causa delle gravi ferite riportate alla bocca e, perciò, da lì in avanti sarà sempre conosciuto con il nomignolo affibbiatogli dai suoi perfidi coetanei: Tartaglia. Questo grande matematico, noto oggi a qualunque studente delle superiori per il “triangolo di Tartaglia” (una tabella numerica per trovare i coefficienti dello sviluppo di un binomio elevato a potenza), fu uno dei protagonisti di un momento cruciale per la storia di questa disciplina, insieme ad altri eccelsi studiosi italiani del Cinquecento come Scipione Dal Ferro, Gerolamo Cardano e Ludovico Ferrari: la scoperta della formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. Ossia i primi veri progressi dell’algebra da 3mila anni a quella parte, progressi dai quali sarebbero in breve scaturiti molteplici e rigogliosi sviluppi.

Riscatto sociale
Nato a Brescia da famiglia poverissima, il giovane Tartaglia studiò da autodidatta e ben presto capì di possedere un naturale talento per la matematica. Trasferitosi dapprima a Verona (tra il 1516 e il 1518) e poi a Venezia (nel 1534), in queste città acquistò fama e autorevolezza come pubblico maestro di matematica pratica per attività tecniche e commerciali. Per avere chiarimenti su questioni di algebra, aritmetica o geometria lo interpellavano mercanti, ingegneri, architetti e persino umanisti e religiosi. Talvolta anche altri matematici si rivolgevano a lui per sfidarlo. E non per modo di dire! Nel XVI secolo erano di gran voga in Italia i “cartelli di matematica disfida”: veri e propri duelli scientifici il cui svolgimento ricalcava i canoni dei tornei cavallereschi. Uno studioso inviava a un altro alcuni problemi, che costituivano il guanto di sfida di queste particolari tenzoni, e lo sfidato doveva cercare di risolverli entro un termine prestabilito, proponendo a sua volta all’avversario ulteriori quesiti. Ogni duello dall’esito contrastato culminava in un pubblico dibattito, nel corso del quale i contendenti erano tenuti a discutere dei problemi scambiati e delle relative soluzioni alla presenza di giudici, notai, governanti e spesso di una folta platea di spettatori. Non era raro che tali disfide si facessero parecchio incandescenti, sconfinando dal piano scientifico a quello dell’invettiva personale. Del resto, la posta in palio poteva essere molto alta: il vincitore di una pubblica disfida matematica, cioè colui che aveva risolto il maggior numero di problemi, non guadagnava solo gloria e prestigio, bensì più concretamente premi in denaro, nuovi allievi paganti, l’acquisizione o la conferma di una cattedra, aumenti di stipendio e spesso incarichi professionali ben remunerati. La carriera dello sconfitto, invece, rischiava di essere seriamente compromessa.

Codice d’onore
Nel 1530 Tartaglia accolse con scetticismo e contrarietà i due quesiti posti dallo sfidante di turno, tal maestro Zuanne de Tonini da Coi, insegnante di matematica a Brescia: “Trovatime un numero qual multiplicato per la sua radice più 3 mi faccia 5. Simelmente, trovatime tre numeri, ma che’l secondo sia 2 più del primo et che’l terzo sia pur 2 più del secondo; et che multiplicato el primo fia (cioè “per”, ndr) el secondo, et quel produtto fia el terzo, faccia 1.000”. Poiché questi problemi conducono rispettivamente alle equazioni algebriche di terzo grado (o equazioni cubiche) x³+3x²=5 e x³+6x²+8x=1.000, il motivo delle perplessità di Tartaglia è presto detto. Premesso che un’implicita regola d’onore delle disfide matematiche rinascimentali era che nessuno dei duellanti poteva avanzare al rivale problemi che egli stesso non fosse capace di risolvere, all’epoca non era nota una formula generale per venire a capo di tutte le equazioni di terzo grado: se ne sapevano risolvere per tentativi o approssimazioni solo alcuni casi molto particolari, e le equazioni proposte da Tonini da Coi non rientravano in tale casistica. Nel 1494 l’illustre matematico toscano Luca Pacioli (v. anche a pag. 76) aveva addirittura reputato impossibile la risoluzione con formule algebriche di generiche equazioni cubiche per mezzo degli strumenti allora a disposizione.
Tartaglia non tardò ad appurare che il suo compaesano Tonini da Coi stava barando, come aveva pensato fin da subito, e in una dura lettera lo rimproverò per aver trasgredito il principio di lealtà delle contese matematiche: “Vi doveresti alquanto arrossire a proponere da rissolvere ad altri quello che voi medesimo non sapeti rissolvere”.
Ben diverso fu però il suo atteggiamento quando, agli inizi del 1535, venne sfidato a Venezia dal ragioniere lagunare Antonio Maria Fior, che gli sottopose 30 problemi tutti riconducibili a equazioni di terzo grado del tipo x³+bx=c. Fior era uno studioso molto stimato nell’ambiente culturale veneziano e sosteneva di conoscere la regola risolutiva delle equazioni cubiche di quella forma, a suo dire segretamente confidatagli anni addietro da un “gran mathematico” di cui non voleva però fare il nome. Ritenendo possibile che Fior non mentisse, Tartaglia accettò la sfida e ripose ogni “studio, cura et arte” per aggiudicarsela. Finché, il 12 febbraio 1535, trovò la formula risolutiva delle equazioni cubiche del tipo x³+bx=c.
Tale formula rappresentava la prima grande scoperta algebrica dai remoti tempi dei matematici babilonesi (ai quali si deve la regola di risoluzione per le equazioni di secondo grado) e di lì a qualche anno si rivelerà la base indispensabile per risolvere qualsiasi equazione cubica. Nell’immediato permise al matematico bresciano di vincere a mani basse la disfida con Fior.

Mantenere il segreto
Mentre vedeva crescere la propria notorietà sul suolo italico, Tartaglia decise, secondo le consuetudini dell’epoca, di non svelare la formula da lui trovata, almeno per qualche tempo. I matematici del XVI secolo, infatti, cercavano quasi per prassi di mantenere segreti il più a lungo possibile i propri metodi e risultati: sia nel timore che, una volta divulgati, allievi e cultori non si rivolgessero più a loro per apprenderli, sia allo scopo di valersene con profitto nelle disfide con altri studiosi. A Milano, tuttavia, c’era qualcuno che ardeva dal desiderio di conoscere la fatidica formula. Non si trattava di un personaggio qualunque, bensì di un intellettuale tra i più brillanti e controversi del Cinquecento: il medico, matematico, filosofo, astrologo, mago, taumaturgo, interprete dei sogni e incallito giocatore d’azzardo Gerolamo Cardano.

Nato a Pavia nel 1501, Cardano era figlio illegittimo di un affermato giurista nonché amante della matematica, Fazio, che per un certo tempo aveva fornito consulenze di geometria a Leonardo da Vinci. In gioventù Gerolamo aveva alternato gli studi di medicina, matematica e lettere classiche presso le università di Pavia e Padova con il gioco d’azzardo, in conseguenza del quale aveva subito numerosi rovesci finanziari.
Le sue maniere alquanto schiette e rudi non lo rendevano un interlocutore facile, ma l’intraprendenza e le abilità di cui era dotato lo portarono a issarsi tra le personalità culturali più in vista del proprio tempo. Dopo essere stato informato della vittoria di Tartaglia nella disfida con Fior, agli inizi del 1539 Cardano scrisse al matematico bresciano pregandolo di rivelargli la formula risolutiva delle equazioni cubiche del tipo x3+bx=c per pubblicarla, unitamente al nome del suo artefice, in un libro di algebra al quale stava lavorando. Tartaglia rispose in modo perentorio che non avrebbe permesso ad alcuno di diffondere la scoperta, avendo egli stesso intenzione di comunicarla in una sua opera. Cardano ribatté allora che ciò che davvero gli interessava era conoscere la misteriosa formula e garantì che, se gli fosse stata svelata, avrebbe mantenuto il segreto. Irremovibile, Tartaglia rifiutò ogni supplica.
Alla fine, tuttavia, Cardano riuscì a scalfire l’inflessibilità di Tartaglia. I due si incontrarono a Milano il 25 marzo 1539 e dopo le solite, reiterate insistenze dello studioso pavese, il matematico bresciano cedette e gli rivelò la sua formula. Non gliela espose però mediante simboli, dal momento che l’algebra dell’epoca ne era ancora priva e tutto veniva espresso a parole, ma in forma discorsiva. Più precisamente, con una poesia che riportiamo qui sotto.

Una sorta di indovinello in rima, a prima vista alquanto ermetico, creato per un motivo che Tartaglia spiegò così a
Cardano: “Voglio che sappiati che per potermi aricordare in ogni mia improvisa occorrentia tal modo operativo, io l’ho redutto in uno capitolo in rima, perché se io non havessi usato questa cautella, spesso me saria uscito di mente. Et quantunque tal mio dire in rima non sia molto terso, non mi ho curato, perché mi basta che mi serva a ridurme in memoria tal regola ogni volta che io il dica”. Da parte sua, Cardano aveva solennemente giurato a Tartaglia di non divulgare in alcun modo la sua formula: “Io vi giuro, ad sacra Dei evangelia (sui sacri Vangeli di Dio, ndr) et da real gentil’huomo, non solamente da non publicar giamai tali vostre inventioni, se me le insignate. Ma anchora vi prometto, et impegno la fede mia da real Christiano, da notarmele in zifera (in scrittura cifrata, ndr), acciocché da poi la mia morte alcuno non le possa intendere”. Ben presto, invece, lo studioso lombardo svelò la formula al suo migliore allievo, il matematico bolognese Ludovico Ferrari, un giovane il cui acume intellettuale era pari al carattere irascibile (durante una rissa, a 17 anni, aveva perso alcune dita della mano destra). Ed è proprio sfruttando la
soluzione di Tartaglia per le equazioni cubiche che Ferrari pervenne, con grande maestria, a un procedimento per risolvere le equazioni di quarto grado: un’altra pietra miliare nella storia dell’algebra.

Una scoperta inattesa
A questo punto Cardano decise di pubblicare i grandiosi progressi sulle equazioni di terzo e quarto grado conseguiti da lui stesso e da Ferrari, ma non poteva farlo senza rendere nota anche la formula di Tartaglia. Inquieto su come sciogliere il dilemma, nel 1542 si recò a Bologna insieme a Ferrari per chiedere lumi al collega Annibale Della Nave, docente di aritmetica e geometria presso il locale ateneo. Questi mostrò ai due ospiti un vecchio taccuino appartenuto al suocero e suo predecessore nella cattedra universitaria, Scipione Dal Ferro, morto 16 anni prima. Leggendo il quaderno, Cardano e Ferrari vi trovarono un’autentica sorpresa: l’identica formula risolutiva delle
equazioni cubiche ottenuta da Tartaglia nel 1535, ma già scoperta da Dal Ferro tra il primo e il secondo decennio del Cinquecento. Anche Dal Ferro, tuttavia, l’aveva tenuta segreta, confidandola in punto di morte solo a pochi intimi, tra cui il genero Della Nave e l’allievo Antonio Maria Fior, che dunque era stato sincero con Tartaglia quando aveva alluso a rivelazioni ricevute da un grande matematico.
Dopo quanto appreso in terra bolognese, Cardano si sentì liberato da qualsiasi obbligo nei confronti di Tartaglia: il giuramento pronunciato nel 1539 lo vincolava a mantenere celata la formula del matematico bresciano, non quella di Dal Ferro. Così, nel 1545, lo studioso pavese diede alle stampe il trattato in latino Artis magnae sive de regulis algebraicis (“La grande arte, ovvero le regole dell’algebra”), più noto come Ars Magna, lo storico testo che avrebbe segnato la nascita dell’algebra moderna. In esso l’autore esaminava in dettaglio le equazioni di terzo e quarto grado, fornendone con tutta generalità le relative soluzioni. Non mancavano, peraltro, i dovuti riconoscimenti a Dal Ferro, Tartaglia e Ferrari per i loro basilari risultati: “Invero ai nostri giorni il bolognese Scipione Dal Ferro trovò il capitolo di cubo e cose uguali a numero (cioè la formula risolutiva dell’equazione x³+bx=c, ndr), cosa certamente bella e ammirevole. Avendo questa arte superato ogni umana sottigliezza e la fama di qualsiasi ingegno mortale, senza dubbio fu essa dono celeste, prova invero di virtù degli animi e a tal punto illustre che chi arriva a essa può ritenersi atto a capire ogni cosa. Nell’emulazione di Dal Ferro, Niccolò Tartaglia, nostro amico, essendo venuto a contesa con un suo discepolo, Antonio Maria Fior, affinché non fosse vinto trovò lo stesso capitolo che a me confidò spinto da molte preghiere. […] Ottenuto quel risultato e trovatane la dimostrazione, capii che se ne potevano avere molti altri. Con questo studio e accresciutami la familiarità, trovai qualcosa da me e anche qualcosa trovò Ludovico Ferrari, già nostro discepolo”.

La resa dei conti
L’Ars Magna conobbe subito una larga diffusione su scala europea, riscuotendo l’unanime plauso della comunità matematica. O meglio, quasi unanime. Di tutt’altro tenore, infatti, fu la reazione di Tartaglia. Infuriato e sentendosi tradito dal collega pavese, nel 1546 pubblicò un libro, Quesiti et inventioni diverse, in cui esponeva la propria versione di tutta la vicenda, riservando a Cardano un assortito campionario di insulti: “in più cose conosco costui esser molto più tondo (tonto, ndr) di quello che io istimavo”, “egli è di poco ingegno”, “tien poco sugo”, “lo giudico di poco discorso”. Dal canto suo, Cardano non replicò all’attacco subìto, lasciando che a farlo per lui fosse l’allievo Ferrari. Prontamente, in data 10 febbraio 1547, Ferrari lanciò a Tartaglia un pubblico cartello di disfida matematica, caratterizzato da toni sprezzanti e denigratori. A stretto giro di posta Tartaglia rispose con un infuocato controcartello in cui opponeva il proprio rifiuto a misurarsi con il giovane bolognese, chiedendo di disputare direttamente con Cardano. Tra quello stesso 1547 e l’anno successivo seguirono altri cinque cartelli da parte di Ferrari, ai quali Tartaglia ribatté con altrettanti controcartelli. La controversia, intrisa di offese e invettive con accenti via via sempre più marcati, suscitò il fervido interesse di tutta l’intellettualità italiana dell’epoca, ed è oggi annoverabile tra le polemiche più feroci dell’intera storia della scienza. La resa dei conti arrivò il 10 agosto 1548, giorno in cui Tartaglia e Ferrari incrociarono le armi matematiche a Milano, nella chiesa di Santa Maria del Giardino. Ad assistere alla sfida accorsero numerosi spettatori, tra cui tutte le maggiori personalità cittadine. Non Cardano però, che fece in modo di trovarsi fuori città durante il dibattito. Era presente anche il governatore di Milano, don Ferrante Gonzaga, in veste di arbitro. Ferrari era spalleggiato da una nutrita schiera di sostenitori, mentre Tartaglia era accompagnato solo dal fratello. La disputa consisteva dei 62 problemi proposti dai due contendenti nei cartelli (31 a testa), relativi soprattutto a temi matematici; altri quesiti riguardavano discipline come architettura, astronomia e geografia. La disparità delle fazioni che appoggiavano i duellanti sembrò poter influenzare fin da subito lo svolgimento dello scontro. Spinto dal supporto della sua “gran comettiva”, Ferrari appariva in grado di esporre le proprie argomentazioni con rapidità, sicurezza e piena padronanza di metodi e formule, dimostrando di possedere una preparazione matematica ben superiore alle attese di Tartaglia. Il quale, a suo dire innervosito e deconcentrato dal pubblico, non sembrava riuscire a tenere testa al rivale. E dopo solo un giorno di discussioni, abbandonò la contesa.

Forse la grande disfida matematica di Milano non ebbe un esito obiettivo. Purtroppo non esistono – o non sembrano essersi conservati – atti ufficiali della disputa o del verdetto finale, e le testimonianze rese in seguito da Cardano e Tartaglia sono, com’è comprensibile, fortemente contrastanti. Tuttavia, vari riscontri storiografici lasciano supporre con pochi dubbi che Ferrari fosse uscito trionfante dalla contesa. Da quel momento, infatti, la sua carriera spiccò il volo: il giovane bolognese ricevette numerose e allettanti proposte di lavoro, tra le quali optò infine per la remunerativa carica di direttore del catasto milanese. Tartaglia, al contrario, si vide revocare la pubblica docenza a Brescia assegnatagli poco tempo prima, e tornò a Venezia umiliato e senza un soldo.

Un lascito straordinario

Per tutti i protagonisti di questa storia, il capolinea dell’esistenza fu assai amaro. Tartaglia morì in povertà a Venezia nove anni dopo, il 13 dicembre 1557, mentre Ferrari terminò i suoi giorni a Bologna il 5 ottobre 1565, a soli 43 anni, quasi sicuramente avvelenato dalla sorella. Quanto a Cardano, passò gli ultimi anni della propria vita alle prese con una serie di drammi famigliari: il primogenito Giambattista venne giustiziato nel 1560 per uxoricidio, avendo ucciso la moglie rea di infedeltà coniugale; il figlio più giovane perse al gioco tutto ciò che possedeva e, dopo aver rubato denaro e gioielli al padre, venne da questi denunciato e costretto all’esilio. Lo stesso Gerolamo, che morirà a Roma il 21 settembre 1576, trascorse qualche tempo in prigione a seguito di una condanna per eresia inflittagli dall’Inquisizione: aveva compilato l’oroscopo di Gesù Cristo e scritto un libro che lodava Nerone.
Le scoperte di Dal Ferro, Tartaglia, Cardano e Ferrari influenzeranno enormemente i successivi sviluppi dell’algebra, dando luogo a una marcia inarrestabile che nel tempo porterà tale disciplina ad assumere un ruolo sempre più importante nell’ambito del pensiero matematico e del sapere scientifico in generale.
Di fatto, è stato proprio grazie ai contributi di questo sparuto e straordinario manipolo di studiosi italiani
che nella prima metà del Cinquecento ha avuto inizio l’era moderna della matematica.