La faccia matematica del poliedrico Leonardo da Vinci

di Silvia Benvenuti

Milano, 1496, corte di Ludovico il Moro: c’è un certo fermento, oggi, a casa Sforza. Si aspetta un personaggio importante, preceduto da una fama di tutto rispetto. Un matematico. Un frate.

Donato Bramante, l’archistar importata da Urbino, che adesso sta stravaccato sul divano insieme a Bernardino dei Conti, ha piantato in asso le sue maestranze, impegnate nella ristrutturazione di Sant’Ambrogio, pur di non perdersi l’evento. Bernardino, per parte sua, si sta chiedendo se dovrà fargli il ritratto, a quest’ospite così speciale. Ludovico, pur senza distogliere lo sguardo lascivo da Cecilia Gallerani, allegramente tollerato dalla moglie Beatrice, chiacchiera con Galeazzo Sanseverino, comandante generale del suo esercito e marito di sua figlia Bianca. C’è anche Ambrogio da Rosate, l’astrologo di corte. In prima fila siedono eccitatissimi Gabriele Pirovano, il medico di Gian Galeazzo, e Alvise Marliani: quest’ultimo, che pure in uno sfumato delirio di onnipotenza sostiene di poter rivaleggiare con Aristotele in filosofia, con Tolomeo in astronomia e con Ippocrate in medicina, non vede l’ora di conoscere il frate matematico di cui tutti parlano. Il grecista Demetrio Calcondila è venuto controvoglia, trascinato da Giorgio Merula, a sua volta convinto dal giovane Ermolao Barbaro, che adesso si sta chiedendo se davvero ne valesse la pena. Un po’ defilato, ostenta indifferenza un grande omone barbuto. Preceduto da uno squillo di tromba, accompagnato dal maggiordomo e interamente coperto dal suo saio francescano, arriva infine il protagonista dello «scientifico duello» del giorno. Parla lentamente, scandendo bene le parole. È conscio della sua autorevolezza, ma non superbo. Guarda tutti ben dritto negli occhi, con fierezza, e comincia:

“Se nel cerchio se formi el pentagono equilatero, e de sue doi propinqui angoli se subtenda doi linee recte, mosse da li termini delli soi lati, de necessità quelle fra loro se devideranno secondo la nostra proporzione, e cada una delle lor maggior parti sempre serà el lato del dicto pentagono. Onde dico lei esser detta proportio habens medium et dua extrema. Se una quantità sia divisa secondo la predicta proporzione, tutti gli effetti che di lei e le sue parti possino pervenire, quelli medesimi in habitudine, numero, spezie e genere provengano de qualunque altra quantità così divisa”.

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Si avvicina al tavolo, posto al centro del semicerchio lungo il quale sono disposti i suoi attoniti ascoltatori, prende il gesso e disegna sulla lavagnetta; mentre disegna, serio, ripete: se nel cerchio se formi el pentagono equilatero…. Mentre il frate parla l’uomo barbuto, ripetendo quasi tra sé e sé, a voce bassissima, le stesse parole, disegna a sua volta, con la mano sinistra. Finiscono insieme e insieme alzano i loro disegni, identici:

L’oratore finalmente sorride, rivolgendosi all’omone barbuto che, ormai, non solo non riesce più a ostentare indifferenza ma è decisamente in estasi, rapito dalle parole del frate, che dall’accento riconosce toscano, proprio come lui: «Bene Leonardo, puoi farne altri [di simili esempi] da solo». Così, con questo primo accenno a quella che sarà una grande passione condivisa, quella per la Divina proportione, inizia una lunga e proficua amicizia, di cui noi tutti continuiamo a godere i frutti a molti secoli di distanza. Il frate è Luca Pacioli che, se fosse santo, sarebbe il protettore dei ragionieri in quanto inventore della partita doppia in contabilità. Ma il suo contributo alla cultura del Rinascimento italiano va molto oltre: il Pacioli matematico è intrinsecamente poliedrico, ritenendo la matematica una somma di aritmetica, geometria, astrologia, musica, prospettiva, architettura e cosmografia. Il suo ruolo non è tanto quello dello scopritore di nuova matematica quanto quello del formalizzatore, del didatta e del comunicatore: svolse un’instancabile attività di divulgazione della geometria euclidea, che caratterizzò la sua vita girovaga; capì immediatamente le potenzialità dell’uso della stampa come veicolo di diffusione culturale ma soprattutto rinnovò profondamente l’immagine della matematica, ponendola al centro dello scibile umano. La dottrina delle proporzioni, di cui abbiamo avuto un saggio nel confronto di cui sopra, è proprio il nucleo della matematizzazione del sapere perseguita dal Pacioli: per lui il libro del mondo è scritto con i caratteri della matematica e con la “sintassi” delle proporzioni.

L’omone barbuto, lo avrete intuito, è il genio di Vinci: Leonardo, che dell’invito a corte del frate toscano è probabilmente l’ispiratore. Nonostante i suoi sforzi e il suo QI, infatti, Leonardo aveva grossi problemi con la matematica, visto che le sue conoscenze aritmetiche e geometriche erano alquanto approssimative: “omo sanza lettere”, infatti, non poteva avere accesso ai testi sacri della materia, Elementi di Euclide in primis, perché non sapeva leggere il latino in cui questi erano scritti.

Pertanto quando, qualche anno prima, non si sa se a Urbino nel 1493 o a Venezia nel 1494, si era imbattuto nella prima versione in volgare dell’opera enciclopedica di Pacioli, la Summa de aritmetica, geometria, proportioni et proportionalità, crepi l’avarizia, se l’era comprata per ben 119 soldi (come annota, con la solita minuzia, nel Codice Atlantico, foglio 288 r). Se l’era studiata attentamente, traendone mille ispirazioni e appassionandosi soprattutto alla geometria – ovvio – e in particolare alla quadratura del cerchio e alla teoria delle lunule. L’aritmetica gli era invece rimasta ostica: nel foglio 191 v del Codice Atlantico lo vediamo alle prese con le frazioni, mentre conclude candidamente che «(…) sarà 12/12 cioè 1/0».

Immaginatevelo, per esempio ispirandovi alla sua versione cinematografica in “Non ci resta che piangere”, mentre, conducendo il treno di fronte agli sconsolati Troisi e Benigni, con la testa che gli fuma, cerca inutilmente di moltiplicare per sé stesso, ottenendo 4/2 ovvero 2.

Decisamente, gli serviva un aiuto. Chi meglio di fra Luca, l’autore della sua bibbia matematica, potrebbe insegnargli quello che brama di imparare? Ed è così che Leonardo, ormai da tempo alla corte degli Sforza, sollecita Ludovico affinché inviti a Milano il Pacioli, a quell’epoca già conteso come insegnante di matematica da Repubbliche, Signorie e Principati di tutta la penisola. Come abbiamo visto, Pacioli arriva, dando inizio a un sodalizio in cui entrambi avranno da guadagnare. Luca spiega, Leonardo prende appunti. Sul foglio 1r del Codice M, Leonardo annota in alto “Lezione terza del primo”, riferendosi al primo libro degli Elementi, che Luca traduce e spiega per lui. Visto che l’allievo non è esattamente quello che in Toscana si dice duro, Pacioli si prende la libertà di insegnargli, contemporaneamente ai primi tre libri, facili e specifiche proposizioni del decimo libro, alquanto più difficile: “Lezione terza del decimo”, annota Leonardo con la consueta pignoleria. Pacioli lo fa per portarlo sul terreno che gli interessa: Leonardo, infatti, lo pagava “in natura”, ovvero disegnando per lui e quindi Luca struttura la sua educazione matematica in modo tale che sia funzionale alla realizzazione dei disegni, niente affatto banali, dell’opera in cui è impegnato al momento, la Divina proportione, in cui analizza il ruolo delle proporzioni e dei rapporti in arte, architettura, anatomia e matematica. Leonardo realizza così 60 tavole che raffigurano in gran parte variazioni sul tema dei cinque solidi platonici, ovvero tutti e soli i poliedri che hanno per facce poligoni regolari uguali tra loro, con la stessa valenza in ogni vertice: tetraedri, cubi, ottaedri, dodecaedri e icosaedri.
Per costruire questi ultimi, in particolare, è indispensabile un’infarinatura della classificazione delle grandezze irrazionali, contenuta nel X libro, che Luca spiega e Leonardo diligentemente annota.

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Tra una lezione e l’altra, i due si dilettano a organizzare gli intermezzi ludico-scientifici delle feste di corte che il Moro e l’irrequieta quanto adorata Beatrice organizzano tanto di frequente: i trucchi spaziano tra il far camminare un uovo da un lato e all’altro del tavolo (usando cera e capelli), far salire e scendere una moneta dentro un bicchiere (con aceto e polvere magnetica) o far saltare un pollo cotto (con il mercurio); gli enigmi e i rompicapi, che Luca riporta in un taccuino iniziato poco dopo il suo arrivo a Milano e pubblicato in seguito col titolo De viribus quantitatis, comprendono la prima versione mai stampata di un indovinello classico (dire, con l’aiuto di un complice, quale carta è stata pescata da un mazzo) o il celebre problema di capra, cavolo e lupo da portare sull’altra sponda di un fiume senza che si divorino a vicenda. I disegni del De Divina Proportione, «facti e formati per l’ineffabile mano sinistra a tutte le discipline mathematici accomodatissima dal prencipe oggi fra i mortali, pro prima fiorentino, Leonardo da Vinci», sono geniali da molti punti di vista: la resa dell’illuminazione e dell’ombreggiatura, che fanno sembrare quelle figure geometriche oggetti reali sospesi davanti ai nostri occhi, sono straordinarie; ma ancor più geniale è l’idea di “bucare” le facce, rappresentando le figure non come solidi ma come scheletri, di cui è visibile l’interno, come fossero fatte di listelli di legno. Probabilmente, Leonardo usò veri e propri modelli fisici che appendeva al soffitto come lo strano poliedro raffigurato, appunto appeso, trasparente e mezzo pieno d’acqua, nel famosissimo Doppio ritratto di Luca Pacioli.

Noi oggi lo chiamiamo rombicubottaedro mentre Luca e Leonardo, che per primi ebbero il coraggio di inserirlo – e disegnarlo – in un trattato sui poliedri, lo chiamavano eicosiexaedron: si tratta di un poliedro semiregolare (o archimedeo) con 18 facce quadrate e 8 facce triangolari. Il quadro è interessante sia perché presenta molti altri riferimenti matematici, sia perché costituisce da molti punti di vista un mistero, non essendo chiaro né chi sia il personaggio a fianco del Pacioli, né chi ne sia l’autore. Ma questa… è un’altra storia!

da Prisma n.4 | Gennaio-Febbraio 2019